Question

【題目】如圖①，已知點(diǎn)為正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），分別過點(diǎn)向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，連接和.

（1）求證：；

（2）如圖②，延長(zhǎng)正方形對(duì)角線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線上時(shí)，通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；

（3）若點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）仍然成立；證明見解析；（3）OE的長(zhǎng)為或.

【解析】

（1）延長(zhǎng)EO交CF于點(diǎn)G，易證和，所以，

即點(diǎn)O為EG的中點(diǎn)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答；

（2），仍然成立，延長(zhǎng)EO和FC，相交于點(diǎn)G，方法同（1）即可證明；

（3）要分類討論，①當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，易得，所以，在中， ，所以；當(dāng)點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，方法同①即可解答.

（1）證明：如圖，延長(zhǎng)EO交CF于點(diǎn)G，

∵點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，

，

，

，

，

在和△中，

，

，

，

即點(diǎn)O為EG的中點(diǎn)，

在中，是斜邊EG上的中線，

，

；

（2），仍然成立，

證明：如圖，延長(zhǎng)EO和FC，相交于點(diǎn)G，

∴點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，

，

，

，

在和中，，

，

，

即點(diǎn)O為EG的中點(diǎn)，

在中，

是斜邊EG上的中線，

，

仍然成立；

（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，如圖

，.

易得，

.

在中，

，

；

②當(dāng)點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖.

，.

同理可得.

在中，，

，.

綜上可知，OE的長(zhǎng)為或.