Question

9．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）∠ABO=30°，過點(diǎn)B的直線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求直線l的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)D在x軸上從點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒1個單位長的速度運(yùn)動（0＜t＜4），過點(diǎn)D分別作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB于點(diǎn)E、F，連接EF，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)．
①判斷四邊形DEBF的形狀并證明；②求出t為何值時線段DG的長最短．
（3）點(diǎn)P是y軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有一個角為30°的直角三角形的性質(zhì)，求出OB，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由有一個角是直角的平行四邊形是矩形，判斷出四邊形DEBF是矩形，再利用點(diǎn)到直線的距離中垂線短最短即可；
（3）設(shè)出點(diǎn)P（0，m）的坐標(biāo)，先利用平行四邊形的性質(zhì)作出圖形，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用菱形的四邊相等求出m即可．

解答 （1）解：∵A（1，0），
∴OA=1，
∵∠ABO=30°，
∴0B=$\sqrt{3}$，AB=2，
∴B（O，$\sqrt{3}$），
設(shè)直線l的解析式為y=kx+$\sqrt{3}$，
∵A（1，0）在直線l上，
∴k=-$\sqrt{3}$，
∴y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
∵B（0，$\sqrt{3}$）在直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m上，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)C在x軸上，
∴C-3，0）．

（2）解：如圖1，
①四邊形DEBF為矩形，
∵DE∥AB，DF∥BC，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴平行四邊形BEDF為矩形．
②∵G為EF中點(diǎn)，
∴G為矩形BEDF的對角線的交點(diǎn)，
∵要使DG最短，也就是BD最短，
∴只有BD⊥AC時，BD最短，
∴CD=3，
∴t=3；
（3）
解：如圖2，在坐標(biāo)平面內(nèi)是存在點(diǎn)Q，使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
設(shè)P（0，m）且A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴直線AB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
作a∥BP，則直線a的解析式為x=1，
作b∥AP，則直線b的解析式為y=mx+$\sqrt{3}$，
作c∥AB，則直線c的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+m，
①以AB為對角線時，有$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-mx+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴Q1（1，-m+$\sqrt{3}$），
∵四邊形Q1BPA為菱形，
∴Q₁A=Q₁B，即：Q₁A²=Q₁B²，
∴（-m+$\sqrt{3}$）²=1+m²，
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴Q₁（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），P（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
②以AB為邊時，
Ⅰ、QP為對角線時，
∵點(diǎn)A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴AB=2，
∵點(diǎn)P是y軸上的點(diǎn)，
∴P（0，$\sqrt{3}$+2）或P（0，$\sqrt{3}$-2）
∵AB解析式為y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
∴AP解析式為y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$+2或y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$-2，
∵四邊形APQB為菱形，
∴點(diǎn)Q過點(diǎn)A且PQ∥y軸的直線上，
∴Q₂（1，2）或Q₃（1，-2）；
Ⅱ、以BP為對角線時，
∴P（0，-$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)Q₄（-1，0），
∴存在點(diǎn)Q，使以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，Q₁（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），或Q₂（1，2），或Q₃（1，-2）或Q₄（-1，0）．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)中簡單的綜合題，涉及到待定系數(shù)法求直線解析式，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間距離公式，利用方程組求直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解本題的關(guān)鍵是利用兩直線平行，比例系數(shù)相等，設(shè)出直線解析式如直線AB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，直線AB的解析式為y=-mx+m，作a∥BP，則直線a的解析式為x=1；作b∥AP，則直線b的解析式為y=mx+$\sqrt{3}$；作c∥AB，則直線c的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+m．