Question

17．如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（1，α），點(diǎn)B（2，n）是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連接OB．
（1）求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求△OAB的面積；
（3）設(shè)點(diǎn)P（m，0），若△PAB的面積為2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，a）代入直線y=2x，就可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可得到k，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，就可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)C，如圖1，運(yùn)用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式，從而可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用割補(bǔ)法就可解決問(wèn)題；
（3）運(yùn)用割補(bǔ)法可求出PC的值，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)就可求出m的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，a）在直線y=2x上，
∴a=2×1=2，A（1，2）．
∵A（1，2）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=1×2=2，y=$\frac{2}{x}$．
∵點(diǎn)B（2，n）是反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$圖象上，
∴n=$\frac{2}{2}$=1，B（2，1）；

（2）延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)C，如圖1，

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+3．
∵點(diǎn)C是直線y=-x+3與x軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），OC=3，
∴S_△OAB=S_△OAC-S_△OBC
=$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$；

（3）如圖2，

∵S_△PAB=2，
∴S_△PAB=S_△PAC-S_△PBC=$\frac{1}{2}$×PC×2-$\frac{1}{2}$×PC×1=$\frac{1}{2}$PC=2，
∴PC=4．
∵C（3，0），P（m，0），
∴$|\begin{array}{l}{m-3}\end{array}|$=4，
∴m=-1或7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求直線及反比例函數(shù)的解析式、運(yùn)用割補(bǔ)法求三角形的面積等知識(shí)，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決本題的關(guān)鍵，需要注意的是線段的長(zhǎng)度確定，點(diǎn)的坐標(biāo)未必確定．