Question

【題目】(2016湖南省邵陽(yáng)市第25題)尤秀同學(xué)遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1所示，已知AF，BE是△ABC的中線，且AF⊥BE，垂足為P，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．

求證：a2+b2=5c2

該同學(xué)仔細(xì)分析后，得到如下解題思路：

先連接EF，利用EF為△ABC的中位線得到△EPF∽△BPA，故，設(shè)PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分別表示出來(lái)，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理計(jì)算，消去m，n即可得證

（1）請(qǐng)你根據(jù)以上解題思路幫尤秀同學(xué)寫(xiě)出證明過(guò)程．

（2）利用題中的結(jié)論，解答下列問(wèn)題：

在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，O為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E， F分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，連接BE，CF并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，BM，CM分別交AD于點(diǎn)G，H，如圖2所示，求MG2+MH2的值．

Answer 1

【答案】(1)、證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)、5

【解析】

試題分析：(1)、設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得EF∥AB，EF=c，則可判斷△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接著根據(jù)勾股定理得到n2+4m2=b2，m2+4n2=a2，則5（n2+m2）=（a2+b2），而n2+m2=EF2=c2，所以a2+b2=5c2；(2)、利用（1）的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，再利用△AEG∽△CEB可計(jì)算出AG=1，同理可得DH=1，則GH=1，然后利用GH∥BC，根據(jù)平行線分線段長(zhǎng)比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代換后可得MG2+MH2=5．

試題解析：(1)、設(shè)PF=m，PE=n，連結(jié)EF，如圖1， ∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF為△ABC的中位線，AE=b，BF=a， ∴EF∥AB，EF=c，

∴△EFP∽△BPA， ∴，即==， ∴PB=2n，PA=2m，

在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2， ∴n2+4m2=b2①，

在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2， ∴m2+4n2=a2②，

①+②得5（n2+m2）=（a2+b2），

在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2， ∴n2+m2=EF2=c2， ∴5c2=（a2+b2）， ∴a2+b2=5c2；

(2)、∵四邊形ABCD為菱形， ∴BD⊥AC， ∵E，F(xiàn)分別為線段AO，DO的中點(diǎn)，

由（1）的結(jié)論得MB2+MC2=5BC2=5×32=45， ∵AG∥BC， ∴△AEG∽△CEB， ∴==， ∴AG=1，

同理可得DH=1， ∴GH=1， ∴GH∥BC， ∴===，

∴MB=3GM，MC=3MH， ∴9MG2+9MH2=45， ∴MG2+MH2=5．