Question

20．問題背景：
如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，從而得出結論：EF=BE+FD．
探索延伸：
如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由．
結論應用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏東60°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏西20°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等．接到行動指令后，艦艇甲向正南方向以40海里/小時的速度前進，艦艇乙沿南偏東40°的方向以50海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

分析 問題背景：延長FD到點G，使DG=BE，連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；
探索延伸：將△ADF順時針旋轉得到△ABG，使得AD與AB重合，則△ADF≌△ABG，即可證明△ABE≌△ADG，可得EF=FG，即可解題；
結論應用：連接EF，根據(jù)（2）的結論可證．

解答 解：問題背景：EF=BE+DF，證明如下：
如圖1，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案為：EF=BE+DF；

探索延伸：
證明：如圖2，將△ADF順時針旋轉得到△ABG，使得AD與AB重合，
則△ADF≌△ABG，
∴∠FAG=∠BAD，AF=AG，DF=GB，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠EAF=∠EAG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△EAF，（SAS）
∴GE=EF，
∵GE=GB+BE=DF+BE，
∴EF=BE+FD；

結論應用：如圖3，連接EF，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，
∴∠FOE=70°=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵OA=OB，∠A+∠B=60°+120°=180°，符合探索延伸中的條件，
∴結論EF=AE+FB成立．
即，EF=AE++FB=2×40+2×50=180（海里）
答：此時兩艦艇之間的距離為180海里．

點評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△AEF≌△AGF是解題的關鍵．