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8.已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,AB是直徑,AD=DC,分別延長BA,CD交于點(diǎn)E,BF垂直EC,交EC的延長線于F.若EA=AO,BC=6,則圓O的半徑4,CF的長322

分析 圓的半徑OD可以通過ODBC=EOEB解決,因?yàn)镽t△BCF∽R(shí)t△BAD得BCBA=CFAD,即CFBC=ADAB,欲求CF只要求出AD,因?yàn)锳D=CD,所以解決求出CD即可解決問題.

解答 解:如圖,連接AC,BD,OD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠BCA=∠BDA=90°.
∵BF⊥EC,
∴∠BFC=90°,
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠BCF=∠BAD,
∴Rt△BCF∽R(shí)t△BAD,
BCBA=CFAD,即CFBC=ADAB,
∵OD是⊙O的半徑,AD=CD,
∴OD垂直平分AC,
∴OD∥BC,
DECD=EOOB
∴△EOD∽△EBC,
OEEB=DECE=ODBC
AE=AO,即OE=2OB,BE=3OB,BC=6
OEBE=EDCE=OD6=23,DECD=2,
∴OD=4,CE=32DE,
又∵∠EDA=EBC,∠E=∠E,
∴△AED∽△CEB,
∴DE•EC=AE•BE,
∴DE•32DE=4×12,
∴DE=42,
∴CD=22,則AD=22,
CF6=228
∴CF=322
故答案為4,322

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及垂直定理的推論等知識(shí),解題的關(guān)鍵是巧用比例式,已知三個(gè)量求第四個(gè)量.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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3.已知:如圖,在矩形ABCD中,∠EDF兩邊分別與邊AB、BC交于E、F,與對(duì)角線交于G、H,且∠EDF=∠BDC,∠BDC=60°,AE=2,DH=13時(shí),DG=4133

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20.問題背景:
如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,且∠EAF=60°,探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到△ADG的位置,然后再證明△AFE≌△AFG,從而得出結(jié)論:EF=BE+FD.
探索延伸:
如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F(xiàn)分別是邊BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=12∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由.
結(jié)論應(yīng)用:
如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏東60°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏西20°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等.接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正南方向以40海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿南偏東40°的方向以50海里/小時(shí)的速度前進(jìn),2小時(shí)后,指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F(xiàn)處,且兩艦艇與指揮中心O之間夾角∠EOF=70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

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