Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于兩點，點坐標為，拋物線的對稱軸是直線

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是軸右側拋物線圖像上的一動點，設點的橫坐標為.

①是否存在這樣的點使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

②若該動點在第一象限內，連接，當時，求的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）將點A的坐標代入可得，由對稱軸得，聯立可得的值，即可確定拋物線解析式；

（2）由點A、B、C坐標可知.

① 分點P在第一象限和第四象限兩種情況討論，當點在第一象限時，過作交延長線于，作軸于，易證，由可知其相似比為，易知長，可得點坐標，求出直線的解析式與拋物線解析式聯立即可確定點P坐標；當在第四象限時，作關于點的對稱點，可知點P在直線上，求出直線的解析式與拋物線解析式聯立即可確定點P坐標；

②分別過作直線的垂線，垂足分別為，并過作軸平行線交直線于點并設軸交直線于點，易得，于是，設直線解析式為，利用確定k值，求出直線解析式與拋物線解析式聯立可得點P坐標，易知t值.

解：（1）將點代入得，由拋物線對稱軸得，聯立得，解得，所以拋物線的解析式為；

由得，

，即.

①當在第一象限時，過作交延長線于，作軸于

，，軸

，

其中，即相似比為

設直線解析式為，

將點，代入得

，解得

所以直線解析式為:

聯立

解得

當在第四象限時，作關于點的對稱點，則在直線上.

設直線解析式為，

將點代入得，解得

所以直線解析式為

聯立

解得

綜上，點坐標為或

即或；

②如圖，分別過作直線的垂線，垂足分別為，并過作軸平行線交直線于點并設軸交直線于點.

由作圖可知軸，

，

設直線解析式為，

則.

由已知得

解得

聯立

解得

即.