【題目】某公司試銷一種成本為30元/件的新產(chǎn)品,按規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價,又不高于80元/件,試銷中每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)滿足下表中的函數(shù)關系.

x(元/件)

35

40

45

50

55

y(件)

550

500

450

400

350


(1)試求y與x之間的函數(shù)表達式;
(2)設公司試銷該產(chǎn)品每天獲得的毛利潤為S(元),求S與x之間的函數(shù)表達式(毛利潤=銷售總價﹣成本總價);
(3)當銷售單價定為多少時,該公司試銷這種產(chǎn)品每天獲得的毛利潤最大?最大毛利潤是多少?此時每天的銷售量是多少?

【答案】
(1)解:解法1:設y與x之間的函數(shù)關系滿足y=kx+b

把x=40,y=500;x=50,y=400

分別代入上式得:

,

解得

∴y=﹣10x+900

∵表中其它對應值都滿足y=﹣10x+900

∴y與x之間的函數(shù)關系為一次函數(shù),且函數(shù)表達式為y=﹣10x+900(30≤x≤80);

解法2:設y與x之間的函數(shù)關系滿足y=ax2+bx+c

把x=35,y=550;x=40,y=500;x=50,y=400分別代入上式

解,得 ∴y=﹣10x+900

∵表中其它對應值都滿足y=﹣10x+900

∴y與x之間的函數(shù)關系為一次函數(shù),且函數(shù)表達式為y=﹣10x+900(30≤x≤80)


(2)解:方法1:毛利潤S=(x﹣30)y

=(x﹣30)(﹣10x+900)

=﹣10x2+1200x﹣27000(30≤x≤80)

方法2:毛利潤S=xy﹣30y

=x(﹣10x+900)﹣30×(﹣10x+900)

=﹣10x2+1200x﹣27000(30≤x≤80)


(3)解:在S=﹣10x2+1200x﹣27000中

∵a=﹣10<0,∴當

∴S最大=﹣10×602+1200×60﹣27000=9000(元)

此時每天的銷售量為:y=﹣10×60+900=300(件).

∴當銷售單價定為60元/件時,該公司試銷這種產(chǎn)品每天獲得的毛利潤最大,最大毛利潤是9000元,此時每天的銷售量是300件


【解析】(1)方法一,根據(jù)圖中表格可知:每天的銷售單價x增加5元,銷售量y減少50件,故每天的銷售量y和銷售單價x之間為一次函數(shù)的關系,故可用待定系數(shù)法將y與x之間的函數(shù)表達式求出;方法二,設y與x之間滿足二次函數(shù)表達式,將表格中任意三個值代入,可將該函數(shù)求出;(2)方法一,根據(jù):毛利潤=(每件產(chǎn)品的銷售價﹣成本)×銷售量,可求出S與x之間的函數(shù)表達式;方法二,根據(jù):毛利潤=銷售總價﹣成本總價,也可求出S與x之間的函數(shù)表達式;(3)由(2)知,當x=﹣ 時,二次函數(shù)能取得極值.

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