Question

16．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．點(diǎn)P為直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），連接PC，點(diǎn)D在直線BC上，且PD=PC．過點(diǎn)P作PE⊥PC，點(diǎn)D，E在直線AC的同側(cè)，且PE=PC，連接BE．
（1）情況一：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，圖形如圖1 所示；
情況二：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長線上，且AP＜AB時(shí)，請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖2；．
（2）請(qǐng)從問題（1）的兩種情況中，任選一種情況，完成下列問題：
①求證：∠ACP=∠DPB；
②用等式表示線段BC，BP，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；
（2）情況一：①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠D根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠4=∠6，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PBF=∠PFB=45°，于是得到PB=PF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=FC，由勾股定理得到BF=$\sqrt{2}$BP，即可得到結(jié)論；
情況二：①，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PDC=∠PCD，由∠ABC=∠ACB=45°，于是得到∠3=∠PDC-45°，∠ACP=∠PCD-45°，即可得到結(jié)論；根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠4=∠6，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PBF=∠PFB=45°，于是得到PB=PF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=FC，根據(jù)勾股定理得到BF=$\sqrt{2}$BP于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）補(bǔ)全圖形如圖①所示；
（2）情況一：
①證明：如圖②，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵PD=PC，
∴∠1=∠D，
∵∠ACB=∠1+∠2=45°，∠ABC=∠D+∠=45°，
∴∠3=∠2，
即∠ACP=∠DPB；
②BC=$\sqrt{2}$BP+BE；理由：
證明：如圖③過P作PF⊥PB交BC于F，
∵PF⊥PB，
∴∠BPF=90°，
∵EP⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠4+∠5=∠6+∠5，
∴∠4=∠6，
∵∠PBF=45°，
∴∠PBF=∠PFB=45°，
∴PB=PF，
在△PBE與△PFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PF}\\{∠4=∠6}\\{PE=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PFC，
∴BE=FC，
∵BF=$\sqrt{2}$BP，
∴BC=BF+FC=$\sqrt{2}$BP+BE．
情況二：①如圖④，
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠3=∠PDC-45°，∠ACP=∠PCD-45°
，∴∠BPD=∠ACP；
②如圖④，過P作PF⊥PB交BC于F，
∵PF⊥PB，
∴∠BPF=90°，
∵EP⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠4+∠BPC=∠6+∠BPC=90°，
∴∠4=∠6，
∵∠PBF=45°，
∴∠PBF=∠PFB=45°，
∴PB=PF，
在△PBE與△PFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PF}\\{∠4=∠6}\\{PE=PC}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PFC，
∴BE=FC，
∵BF=$\sqrt{2}$BP，
∴BC=BF-FC=$\sqrt{2}$BP-BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．