Question

【題目】在ABCD 中，∠BAD 的平分線交直線 BC 于點 E，交直線 DC 于點 F，∠D=120°．

（1）如圖 1，若 AD=6，求△ADF 的面積；

（2）如圖 2，過點 F 作 FG∥CE，FG＝CE，連結 DB、DG，求證：BD=DG．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1) 過點F作AD的垂線，交AD的延長線于G，利用平行線和角平分線的性質(zhì)證明AD=DF，在中利用勾股定理求得GF.根據(jù)三角形面積公式計算面積即可；

（2）連接BG、EG、GC，先證明四邊形ECFG為菱形，再根據(jù)∠ADF=120°，可證明，由此可得出BG=DG，再證明△BDG為等邊三角形即可得出結論.

（1）解：如圖1，過點F作AD的垂線，交AD的延長線于G，

∵AF平分∠BAD

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴∠DFG=30°，

.

(2)證明：連接BG、EG、GC

∴四邊形ECFG為平行四邊形

∴∠2=∠CEF

∵∠2=∠3

∴∠3=∠CEF

∴CE=FC

∴為菱形，

∴

在△BCG和△DFG中

即

即

∴△BDG為等邊三角形

∴BD=DG.