Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)？

（2）設(shè)△PQB的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出最大值；

（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)、5；(2)、；(3)、t=s，s或t=4s

【解析】試題分析：(1)、通過(guò)比較線段AB，BC的大小，找出較短的線段，根據(jù)速度公式可以直接求得；(2)、由已知條件，把△PQB的邊QB用含t的代數(shù)式表示出來(lái)，三角形的高可由相似三角形的性質(zhì)也用含t的代數(shù)式表示出來(lái)，代入三角形的面積公式可得到一個(gè)二次函數(shù)，即可求出S的最值；(3)、根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和余弦公式列出等式求解，即可求的結(jié)論．

試題解析：(1)、作CE⊥AB于E， ∵DC∥AB，DA⊥AB， ∴四邊形AECD是矩形，

∴AE=CD=5，CE=AD=4， ∴BE=3， ∴BC=5， ∴BC＜AB，

∴P到C時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)， ∴t=（秒）， 即t=5秒時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(2)、由題意知，AQ=BP=t， ∴QB=8﹣t， 作PF⊥QB于F，則△BPF～△BCE，

∴，即， ∴BF=，

∴S=QBPF=×（8﹣t）=﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），

∵﹣＜0， ∴S有最大值，當(dāng)t=4時(shí)，S的最大值是；

(3)、∵cos∠B=， ①當(dāng)PQ=PB時(shí)（如圖2所示），則BG=BQ，==，解得t=s，

②當(dāng)PQ=BQ時(shí)（如圖3所示），則BG=PB，==，解得t=s，

③當(dāng)BP=BQ時(shí)（如圖4所示），則8﹣t=t， 解得：t=4．

綜上所述：當(dāng)t=s，s或t=4s時(shí)，△PQB為等腰三角形．