Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，并與軸相交于另一點(diǎn)，對稱軸與軸相交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）求證：；

（3）如果點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）P(，)

【解析】

（1）利用一次函數(shù)，先用含有b的式子表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)可求得b和a的值；

（2）利用兩個(gè)三角形夾角相等，且夾邊成比例證明；

（3）先利用△BCP∽△BAC得到BP的長，再利用△BOA∽△BHP得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，同理得到縱坐標(biāo).

（1）∵一次函數(shù)為與軸相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)

∴A(－2b，0)，B(0，－b)

將點(diǎn)B代入拋物線得：－b=4，解得：b=－4

∴A(8，0)，B(0，4)

將點(diǎn)A代入拋物線得：0=64a－32a+4，解得：a=

∴拋物線解析式為：

（2）∵拋物線為

∴對稱軸為：x=

∴D(2，0)，圖形如下：

根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系得：OD=2，OA=8，OB=4

∵∠BOD=∠BOA

又∵

∴

（3）圖形如下，連接CP：

∵△BOD∽△AOB

設(shè)∠OBD=∠BAO=a，則∠BCP=∠DBO=a

∴∠BCP=∠BAO=a

∵∠CBP=∠CBA

∴△BCP∽△BAC

∴

∵B(0，4)，C(－4，0)，A(8，0)

∴根據(jù)勾股定理：BC=4，AB=4

∴BP=

過點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)H

∵PH∥x軸

∴，解得：PH=，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

同理可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

∴P(，)