Question

19．（1）計算下列各式的值：$\sqrt{1{1}^{2}-21}$；$\sqrt{10{1}^{2}-201}$；$\sqrt{100{1}^{2}-2001}$；
（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明其正確性．

Answer 1

分析 （1）把二次根式化為最簡二次根式即可．
（2）探究規(guī)律后，寫出第n個等式，根據(jù)證明恒等式的步驟進行證明即可．

解答 解：（1）$\sqrt{1{1}^{2}-21}$=$\sqrt{121-21}$=$\sqrt{100}$=10，
$\sqrt{10{1}^{2}-201}$=$\sqrt{10201-201}$=$\sqrt{10000}$=100，
$\sqrt{100{1}^{2}-2001}$=$\sqrt{1002001-2001}$=$\sqrt{1000000}$=1000；
（2）$\sqrt{100…{1}^{2}-200…1}$（1與1之間，2與1之間有n-1個0）=10ⁿ．
證明：左邊=$\sqrt{1{{0}^{2}}^{n}+2•1{0}^{n}+1-200…1}$=$\sqrt{1{0}^{2n}}$=10ⁿ=右邊．
所以等式成立．

點評 本題考查算術平方根的定義，解題的關鍵是探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考�？碱}型．