【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,經(jīng)過點C的⊙O與斜邊AB相切于點P.
(1)如圖①,當點O在AC上時,試說明2∠ACP=∠B;
(2)如圖②,AC=8,BC=6,當點O在△ABC外部時,求CP長的取值范圍.
【答案】(1)2∠ACP=∠B;(2)當點O在△ABC外時,<CP≤8.
【解析】分析:(1)根據(jù)BC與AC垂直得到BC與圓相切,再由AB與相切于點P,利用切線長定理得到,利用等邊對等角得到一對角相等,再由等量代換即可得證;
(2)在中,利用勾股定理求出AB的長,根據(jù)AC與BC垂直,得到BC與相切,連接連接OP、AO,再由AB與相切,得到OP垂直于AB,設OC=x,則OP=x,OB=BCOC=6x,求出PA的長,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出BO的長,根據(jù)AC=AP,OC=OP,得到AO垂直平分CP,根據(jù)面積法求出CP的長,由題意可知,當點P與點A重合時,CP最長,即可確定出CP的范圍.
詳解:(1)當點O在AC上時,OC為的半徑,
∵BC⊥OC,且點C在上,
∴BC與相切,
∵與AB邊相切于點P,
∴BC=BP,
∴
∵
∴
即2∠ACP=∠B;
(2)在△ABC中,
如圖,當點O在CB上時,OC為的半徑,
∵AC⊥OC,且點C在上,
∴AC與相切,
連接OP、AO,
∵與AB邊相切于點P,
∴OP⊥AB,
設OC=x,則OP=x,OB=BCOC=6x,
∵AC=AP,
∴BP=ABAP=108=2,
在△OPA中,
根據(jù)勾股定理得:,即
解得:
在△ACO中,
∴
∵AC=AP,OC=OP,
∴AO垂直平分CP,
∴根據(jù)面積法得: 則符合條件的CP長大于
由題意可知,當點P與點A重合時,CP最長,
綜上,當點O在△ABC外時,
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【題目】已知A、B兩地相距50米,小烏龜從A地出發(fā)前往B地,第一次它前進1米,第二次它后退2米,第三次再前進3米,第四次又向后退4米…,按此規(guī)律行進,如果A地在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣16.
(1)求出B地在數(shù)軸上表示的數(shù);
(2)若B地在原點的右側(cè),經(jīng)過第七次行進后小烏龜?shù)竭_點P,第八次行進后到達點Q,點P、點Q到A地的距離相等嗎?說明理由?
(3)若B地在原點的右側(cè),那么經(jīng)過100次行進后,小烏龜?shù)竭_的點與點B之間的距離是多少?
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點E是邊CD上的一點,且BC=EC,CF⊥BE交AB于點F,P是EB延長線上一點,下列結(jié)論:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正確的有_____.(填序號)
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【題目】如圖1,關(guān)于x的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3,0),點C(0,3),點D為二次函數(shù)的頂點,DE為二次函數(shù)的對稱軸,E在x軸上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等?若存在求出點P,若不存在請說明理由;
(3)如圖2,DE的左側(cè)拋物線上是否存在點F,使2S△FBC=3S△EBC?若存在求出點F的坐標,若不存在請說明理由.
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【題目】如圖,將△ABC繞頂點C旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C,且點B剛好落在A′B′上.若∠A=25°,∠BCA′=45°,則∠A′BA等于( )
A. 40°B. 35°C. 30°D. 45°
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【題目】如圖,直線AB與CD相交于點O,OF,OD分別是∠AOE,∠BOE的平分線.
(1)寫出∠DOE的補角;
(2)若∠BOE=62°,求∠AOD和∠EOF的度數(shù);
(3)試問射線OD與OF之間有什么特殊的位置關(guān)系?為什么?
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【題目】一只箱子里共有3個球,其中2個白球,1個紅球,它們除顏色外均相同。
(1)從箱子中任意摸出一個球是白球的概率是多少?
(2)從箱子中任意摸出一個球,不將它放回箱子,攪勻后再摸出一個球,求兩次摸出球的都是白球的概率,并畫出樹狀圖。
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【題目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角頂點落在正方形的頂點D處,使三角板繞點D旋轉(zhuǎn).
(1)當三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(2)在(1)的條件下,若DE:AE:CE= 1: :3,求∠AED的度數(shù);
(3)若BC= 4,點M是邊AB的中點,連結(jié)DM,DM與AC交于點O,當三角板的一邊DF與邊DM重合時(如圖2),若OF=,求CN的長.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中MN分別在AB、CD上且AM=CN,MN與AC交于點O,連接BO若∠DAC=62°,則∠OBC的度數(shù)為( 。
A. 28°B. 52°C. 62°D. 72°
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