Question

已知直線y=x+6的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象在第一象限交于C點，且C點橫坐標(biāo)為2．
（1）寫出A、B兩點的坐標(biāo)及m的值；
（2）將一塊三角板的直角頂點放在線段AB的中點D處，將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別與線段OB、OA交于E、F兩點，連接EF．試證明：BE²+AF²=EF²；
（3）在（2）中若三角板的兩直角邊分別與射線OB、OA交與E、F兩點．三角板繞點D旋轉(zhuǎn)時，△BDE能否成為等腰三角形，若能指出所有情況的E點的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,分類討論

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、B的坐標(biāo)，將C點橫坐標(biāo)代入解析式，求出C點縱坐標(biāo)，得到C點坐標(biāo)，將C點坐標(biāo)代入y=

m

x

（m≠0）即可求出m的值；
（2）作DG⊥y軸，DH⊥x軸，設(shè)FH=CE=a，利用勾股定理得到BE²+AF²=（3+a）²+（3-a）²=18+2a²；FE²=FD²+DE²=FH²+DH²+DG²+EG²=a²+3²+a²+3²=18+2a²；從而得到BE²+AF²=EF²；
（3）將三角形旋轉(zhuǎn)，得到三種情況，畫出圖形，分別進(jìn)行計算．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時，y=6，當(dāng)y=0時，x=-6，
則A（-6，0），B（0，6），
將x=2代入y=x+6的得，y=8，
則C點坐標(biāo)為（2，8）．
將（2，8）代入解析式y(tǒng)=

m

x

得，m=16．

（2）如圖：作DG⊥y軸，DH⊥x軸，
∵D為AB中點，
∴DH=3，DG=3，
易得，△DFH≌△DEG，
∴FH=CE，
設(shè)FH=CE=a，
∵BE²+AF²=（3+a）²+（3-a）²=18+2a²；
FE²=FD²+DE²=FH²+DH²+DG²+EG²=a²+3²+a²+3²=18+2a²；
∴BE²+AF²=EF²．

（3）如圖2，BD=BE時，
BE=

1

2

AB=

1

2

×

62+62

=3

2

；
OE=6-3

2

，
E（0，6-3

2

）．

如圖3，DE⊥y軸時，△DBE為等腰三角形，
E（0，3）．

如圖4，DB=DE時，
∵DB=3

3

，
∴BE=3

3

，
∴E（0，6+3

3

）．

當(dāng)點E與原點重合時，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到DE=BD．
故E（0，0）．

點評：本題是反比例函數(shù)綜合題，涉及一次函數(shù)、三角形等知識，綜合性較強(qiáng)，另外分類討論思想的應(yīng)用也至關(guān)重要．