Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，E為AB的中點，AC是ED的垂直平分線
（1）求證：AB=BC；
（2）求證：∠DBC=∠DCB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）如圖，作輔助線；證明AD=AE，CD=CE；DF=AB=2λ，CF=BC-λ；由勾股定理證明BC=2λ，即可解決問題．
（2）證明BF=CF，得到DF垂直平分BC，即可解決問題．

解答：證明：（1）如圖，連接CE；過點D作DF⊥BC；
∵AC是ED的垂直平分線，
∴AD=AE，CD=CE；
∵E為AB的中點，
∴BE=AE=AD（設為λ）；
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴DF=AB=2λ，CF=BC-λ；
由勾股定理得：
CE²=λ²+BC²，CD²=（2λ）²+（BC-λ）²，
∴λ²+BC²=4λ²+（BC-λ）²，
解得：BC=2λ，
∴AB=BC．
（2）∵BC=2λ，BF=λ，
∴BF=CF，即DF垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB．

點評：該題主要考查了線段垂直平分線的性質、勾股定理及其應用等幾何知識點的應用問題；解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形．