Question

對于二次函數(shù)y=x²-2ax+2a+3，分別滿足下列條件，求系數(shù)a的值．
（1）函數(shù)的最小值為零；
（2）當x＞5時，y隨x增大而增大，且x＜5時，y隨x增大而減��；
（3）圖象在x軸上截得的線段長是3．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的性質,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）可化為頂點為式求得頂點坐標，可求得最小值，令最小值為0，可求得a的值；
（2）由條件可知其對稱軸為x=5，代入可求得a的值；
（3）令y=0，所得一元二次方程的兩根為二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標，根據(jù)根與系數(shù)的關系可表示出兩點間的線段長度，可求得a．

解答：解：（1）∵y=x²-2ax+2a+3=（x-a）²-a²+2a+3，
∴其最小值為-a²+2a+3，
令其為0，可得-a²+2a+3=0，
解得a=3或-1；
（2）由（1）可知二次函數(shù)對稱軸為x=a，
∵當x＞5時，y隨x增大而增大，且x＜5時，y隨x增大而減小，
∴其對稱軸為x=5，
∴a=5；
（3）令y=0可得x²-2ax+2a+3=0，
設該方程的兩根分別為m，n，
則m+n=2a，mn=2a+3，
∴（m-n）²=（m+n）²-4mn=4a²-8a-12，
根據(jù)題意可知（m-n）²=3²=9，
即4a²-8a-12=9，解得a=

7

2

或-

3

2

．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的最值、增減性及與一元二次方程的關系，掌握二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a（x-h）²+k的頂點坐標為（h，k）、對稱軸為x=h是解題的關鍵．