Question

直線y=

1

2

x+2分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）作垂直于x軸的直線x=p，在第一象限交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，是否存在著p的值使MN有最大值？若存在求出MN的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的情況下，以B、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線解析式；
（2）設(shè)M（p，-

1

2

p+1），根據(jù)MN∥y軸且N在y=-x²+

7

2

x+2上，可得N（p，-p²+

7

2

p+2），表示出MN的長(zhǎng)度，利用配方法可求出MN的最大值，也可確定此時(shí)P的值；
（3）由（2）中求得的p的值，可得出M、N的坐標(biāo)，分兩種情況討論，①BM是平行四邊形的邊，②BM是平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=-

1

2

x+2分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，
∴A（4，0），B（0，2），
又∵拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點(diǎn)，
∴c=2，-16+4b+c=0，
∴b=

7

2

，c=2，
∴y=-x²+

7

2

x+2；

（2）∵點(diǎn)M在y=-

1

2

x+2上，
設(shè)M（p，-

1

2

p+1），
∵M(jìn)N∥y軸且N在y=-x²+

7

2

x+2上，
∴N（p，-p²+

7

2

p+2），
∴MN=-p²+

7

2

p+2-（-

1

2

p+2）=-p²+4p=-（p-2）²+4，
∴p=2時(shí)，MN的最大值是4；

（3）在（2）的情況下，即p=2、MN=4時(shí)，
此時(shí)B（0，2），M（2，1），N（2，5），
①若BM是平行四邊形的邊，則BD=MN，
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，6）或（4，4）；
②若BM是平行四邊形的對(duì)角線，
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），則（2+x，5+y）=（0+2，2+1），
解得：x=0，y=-2
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2）．
綜上可得：D₁（4，4）；D₂（0，6）；D₃（0，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，能根據(jù)已知三點(diǎn)坐標(biāo)求出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，此題難度較大．