Question

【題目】我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“果圓”．如圖，A，B，C，D是“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8），且AB=6，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓的圓心，P的坐標(biāo)為（1，0），連接DB，AD，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從A，O兩點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F到達(dá)B點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止，過點(diǎn)F作FG∥BD交AD于點(diǎn)G．

（1）求“果圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（2）在“果圓”上是否存在一點(diǎn)H，使得△DBH為直角三角形？若存在，求出H點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）設(shè)M，N分別是GE，GF的中點(diǎn)，求在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，MN所掃過的圖形面積．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線解析式為y=﹣x2+2x+8．(2) 滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，）或（﹣，﹣）或（，5+2）或（﹣，5﹣2）．(3) ．

【解析】

試題分析：（1）由題意可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），把點(diǎn)D（0，8）代入即可求出a，解決問題．（2）分三種情形討論①D是直角頂點(diǎn)．②B是直角頂點(diǎn)．③H是直角頂點(diǎn)．分別求出點(diǎn)H坐標(biāo)即可．（3）根據(jù)MN所掃過的圖形是平行四邊形，利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．

試題解析：（1）由題意，D（0，8），A（﹣2，0），B（4，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x﹣4），把點(diǎn)D（0，8）代入得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+8．

（2）如圖1中，

①當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，

∵直線BD解析式為y=﹣2x+8，

∵DH1⊥BD，

∴直線DH1的解析式為y=x+8，

由，解得或，

∴點(diǎn)H1坐標(biāo)為（，）．

②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，直線BH2解析式為y=x﹣2，設(shè)H2（m， m﹣2），

由題意PH2=3，

∴（m﹣1）2+（m﹣2）2=9，

整理得到5m2﹣16m﹣16=0，

解得m=﹣或4，

∴點(diǎn)H2坐標(biāo)為（﹣，﹣）．

③當(dāng)H為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)H（m，﹣m2+2m+8），BD的中點(diǎn)K（2，4）

由題意HK=BD=2，

∴（m﹣2）2+（﹣m2+2m+4）2=20，

∴m（m﹣4）（m2﹣3）=0，

∴m=0或4或，

∴H3（，5+2），H4的坐標(biāo)為（﹣，5﹣2）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，）或（﹣，﹣）或（，5+2）或（﹣，5﹣2）．

（3）如圖3中，設(shè)M1N1是起始位置，M2N2S 終止位置．

∵M1N1∥AB，M2N2∥AB，

M1N1=E1F1=1，M2N2=E2F2=1，

∴M1N1∥M2N2，M1N1=M2N2，

∴四邊形M1N1N2M2是平行四邊形，作N1G⊥AB于J，N2H⊥AB于H．

∵DN2=BN2，HN2∥OD，

∴OH=BH，

∴HN2=DO=4，

∵∠N1OJ=∠N2BH，∠N1JO=∠N2HB，

∴△N1JO∽△N2HB，

∴，

∴N1J=，

∴MN所掃過的圖形面積就是平行四邊形M1N1N2M2的面積=1×（4﹣）=．