Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O是BC的中點(diǎn)，到點(diǎn)O的距離等于BC的所有點(diǎn)組成的圖形記為G，圖形G與AB交于點(diǎn)D．

（1）補(bǔ)全圖形并求線段AD的長；

（2）點(diǎn)E是線段AC上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，直線ED與 圖形G有且只有一個(gè)交點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）補(bǔ)全圖形見解析;AD=；（2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí)，ED與圖形G(⊙O)有且只有一個(gè)交點(diǎn).證明見解析.

【解析】

(1)由勾股定理易求得AB的長;可連接CD，由圓周角定理知CD⊥AB,易知 ,可得關(guān)于AC. AD.AB的比例關(guān)系式，即可求出AD的長度；

(2)當(dāng)ED與 相切時(shí)，由切線長定理知EC=ED,則∠ECD=∠EDC,那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可證得AE=DE,即E是AC的中點(diǎn)、在證明時(shí)，可連接OD,證OD⊥DE即可.

（1）依題意畫出⊙O，如圖所示.

在Rt△ACB中，

∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，

∴AB=5.

連接CD，

∵BC為直徑，

∴∠ADC=∠BDC=90°.

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB.

∴ .

∴ .

（2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí)，ED與圖形G(⊙O)有且只有一個(gè)交點(diǎn).

證明：連接OD，

∵DE是Rt△ADC斜邊上的中線,

∴ED=EC.

∴∠EDC=∠ECD.

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD.

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.

∴ED⊥OD.

∴ED與⊙O相切.

∴直線ED與圖形G(⊙O)有且只有一個(gè)交點(diǎn).