Question

如圖1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，其中m為常數(shù)，且m＞0，E（0，n）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB=2BC，畫射線OA，把△ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線y=ax²+bx+n（a≠0）過E，A′兩點(diǎn)．

（1）填空：∠AOB=　45　°，用m表示點(diǎn)A′的坐標(biāo)：A′（　m　，　﹣m　）；

（2）當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A′，拋物線與線段AB交于點(diǎn)P，且=時(shí)，△D′OE與△ABC是否相似？說明理由；

（3）若E與原點(diǎn)O重合，拋物線與射線OA的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)M，過M作MN⊥y軸，垂足為N：

①求a，b，m滿足的關(guān)系式；

②當(dāng)m為定值，拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，線段MN的最大值為10，請(qǐng)你探究a的取值范圍．

 

Answer 1

解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），

∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，

∵AB=2BC，

∴AB=2m=0B，

∵∠ABO=90°，

∴△ABO為等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）；

故答案為：45；m，﹣m；

（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：

由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），

∵=，

∴P（2m，m），

∵A′為拋物線的頂點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣m）²﹣m，

∵拋物線過點(diǎn)E（0，n），

∴n=a（0﹣m）²﹣m，即m=2n，

∴OE：OD′=BC：AB=1：2，

∵∠EOD′=∠ABC=90°，

∴△D′OE∽△ABC；

（3）①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，E（0，0），

∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)E，A，

∴，

整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；

②∵拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn)，

∴拋物線過點(diǎn)C時(shí)的開口最大，過點(diǎn)A時(shí)的開口最小，

若拋物線過點(diǎn)C（3m，0），此時(shí)MN的最大值為10，

∴a（3m）2﹣（1+am）•3m=0，

整理得：am=，即拋物線解析式為y=x²﹣x，

由A（2m，2m），可得直線OA解析式為y=x，

聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得：，

解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），

令5m=10，即m=2，

當(dāng)m=2時(shí)，a=；

若拋物線過點(diǎn)A（2m，2m），則a（2m）²﹣（1+am）•2m=2m，

解得：am=2，

∵m=2，

∴a=1，

則拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)a的范圍為≤a≤1