Question

1．如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，QR∥BA，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？

Answer 1

分析 過(guò)Q作QE⊥AB，由QR與AB平行，且三角形ABC為等邊三角形，利用平行線的性質(zhì)得到三角形QRC為等邊三角形，得到QR=RC=QC=6-2t，也可根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系求得PE的長(zhǎng)，從而可以推得t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ．

解答 解：過(guò)Q作作QE⊥AB于點(diǎn)E，
∵QR∥BA，△ABC為等邊三角形，
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°，
∵∠C=60°，
∴△QRC為等邊三角形，
∴QR=RC=QC=6-2t，
∵BE=$\frac{1}{2}$×2t=t，
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，
∴EP∥QR，EP=QR，
∴PR=EQ=$\sqrt{3}$t，
∴△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°，
∴tan∠QPR=$\frac{6-2t}{\sqrt{3}t}$=$\sqrt{3}$，
解得：t=$\frac{6}{5}$，
則當(dāng)t=$\frac{6}{5}$時(shí)，△APR∽△PRQ．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．