【題目】已知,在△ABC中,∠ACB=30°
(1)如圖1,當(dāng)AB=AC=2,求BC的值;
(2)如圖2,當(dāng)AB=AC,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=2,PB=,PC=3,求∠APC的度數(shù);
(3)如圖3,當(dāng)AC=4,AB=(CB>CA),點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),則PA+PB+PC的最小值為 .
【答案】(1)BC=2;(2)∠APC=120°;(3).
【解析】
作AP⊥BC于P,因?yàn)?/span>AC=2,∠C=30°,利用求得PC,再利用垂徑定理得BP=PC,即可求解.
因?yàn)?/span>AB=AC,∠C=30°,所以∠BAC=120°,將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△QAC,所以,因?yàn)椤?/span>PAQ=120°,所以PQ=2 ,PQ2+PC2=QC2,∠QPC=90°,APQ=30°,∠APC=∠APQ +∠QPC代入即可求解.
將△BCP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CB′P′,連接PP′,AB′,則∠ACB′=90°,因?yàn)?/span>PA+PB+PC=PA+PP′+P′B′,所以當(dāng)A,P,P′,B′共線時(shí),PA+PB+PC的值最小,最小值=AB′的長,再根據(jù)勾股定理即可求解.
解:(1)如圖1中,作AP⊥BC于P.
∵AB=AC,AP⊥BC,
∴BP=PC,
在Rt△ACP中,∵AC=2,∠C=30°,
∴PC=ACcos30°=,
∴BC=2PC=2.
(2)如圖2中,
∵AB=AC,∠C=30°,
∴∠BAC=120°,
將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△QAC.
∴PA=AQ=2,PB=QC=,
∵∠PAQ=120°,
∴PQ=2,
∴PQ2+PC2=QC2,
∴∠QPC=90°,
∵∠APQ=30°,
∴∠APC=30°+90°=120°.
(3)如圖3中,將△BCP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CB′P′,連接PP′,AB′,則∠ACB′=90°.
∵PA+PB+PC=PA+PP′+P′B′,
∴當(dāng)A,P,P′,B′共線時(shí),PA+PB+PC的值最小最小值=AB′的長,
p>由AB=,AC=4,∠C=30°,可得BC=CB′=3,∴AB′==.
故答案為.
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