【題目】(1)探究新知:

①如圖,已知ADBC,ADBC,點M,N是直線CD上任意兩點.試判斷△ABM與△ABN的面積是否相等.

②如圖,已知ADBE,ADBEABCDEF,點M是直線CD上任一點,點G是直線EF上任一點.試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等,并說明理由.

(2)結(jié)論應(yīng)用:

如圖③,拋物線的頂點為C(1,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點D.試探究在拋物線上是否存在除點C以外的點E,使得△ADE與△ACD的面積相等?若存在,請求出此時點E的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】1證明見解析.②相等;理由見解析.2)存在.

【解析】

試題(1由于CD∥AB,所以△ABM△ABN中,AB邊上的高相等,則兩個三角形是同底等高的三角形,所以它們的面積相等;

分別過DEAB的垂線,設(shè)垂足為HK;通過證△DAH≌△EBK,來得到DH=KE;則所求的兩個三角形是同底等高的三角形,由此得證;

2)根據(jù)AC的坐標(biāo),即可求得拋物線的解析式,進而可求出A、D的解析式;用待定系數(shù)法可確定直線AD的解析式;假設(shè)存在符合條件的E點,過CCD⊥x軸于D,交直線ADH;過EEF⊥x軸于F,交直線ADP;根據(jù)拋物線的對稱軸方程及直線AD的解析式,易求得H點的坐標(biāo),即可得到CH的長;設(shè)出E點橫坐標(biāo),根據(jù)直線AD和拋物線的解析式,可表示出PE的縱坐標(biāo),即可得到PE的長;根據(jù)(1)題得到的結(jié)論,當(dāng)PE=CH時,所求的兩個三角形面積相等,由此可列出關(guān)于E點橫坐標(biāo)的方程,從而求出E點的坐標(biāo).(需注意的是E點可能在直線AD的上方或下方,這兩種情況下PE的表達式會有所不同,要分類討論)

試題解析:證明:(1分別過點M,NME⊥ABNF⊥AB,垂足分別為點E,F

∵AD∥BC,AD=BC,

四邊形ABCD為平行四邊形;

∴AB∥CD;

∴ME=NF;

∵SABM=SABN=

∴SABM=SABN

解:相等;理由如下:分別過點DEDH⊥AB,EK⊥AB,垂足分別為HK;

∠DHA=∠EKB=90°;

∵AD∥BE

∴∠DAH=∠EBK;

∵AD=BE

∴△DAH≌△EBK;

∴DH=EK;(2分)

∵CD∥AB∥EF,

∴SABM=SABG=,

∴SABM=SABG;

解:(2)存在.

因為拋物線的頂點坐標(biāo)是C1,4),

所以,可設(shè)拋物線的表達式為y=ax-12+4;

又因為拋物線經(jīng)過點A3,0),

所以將其坐標(biāo)代入上式,得0=a3-12+4,解得a=-1;

該拋物線的表達式為y=-x-12+4,

y=-x2+2x+3

∴D點坐標(biāo)為(0,3);

設(shè)直線AD的表達式為y=kx+3,

代入點A的坐標(biāo),得0=3k+3,解得k=-1;

直線AD的表達式為y=-x+3;

C點作CG⊥x軸,垂足為G,交AD于點H;則H點的縱坐標(biāo)為-1+3=2;

∴CH=CG-HG=4-2=2;

設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m,則點E的縱坐標(biāo)為-m2+2m+3;

E點作EF⊥x軸,垂足為F,交AD于點P,則點P的縱坐標(biāo)為3-m,EF∥CG;

﹙1﹚可知:若EP=CH,則△ADE△ADC的面積相等;

E點在直線AD的上方,

PF=3-m,EF=-m2+2m+3

∴EP=EF-PF=-m2+2m+3-3-m=-m2+3m;

∴-m2+3m=2,

解得m1=2,m2=1

當(dāng)m=2時,PF=3-2=1EF=1+2=3;

∴E點坐標(biāo)為(23);

同理當(dāng)m=1時,E點坐標(biāo)為(1,4),與C點重合;

E點在直線AD的下方,

PE=3-m--m2+2m+3=m2-3m

∴m2-3m=2,

解得;

當(dāng)時,E點的縱坐標(biāo)為

當(dāng)時,E點的縱坐標(biāo)為;

在拋物線上存在除點C以外的點E,使得△ADE△ACD的面積相等,E點的坐標(biāo)為E123);E2);E3,).

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