【題目】如圖,拋物線y=x2﹣4x﹣1頂點(diǎn)為D,與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求這條拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)經(jīng)過點(diǎn)(0,4)且與x軸平行的直線與拋物線y=x2﹣4x﹣1相交于M、N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè)),以MN為直徑作⊙P,過點(diǎn)D作⊙P的切線,切點(diǎn)為E,求點(diǎn)DE的長(zhǎng);
(3)上下平移(2)中的直線MN,以MN為直徑的⊙P能否與x軸相切?如果能夠,求出⊙P的半徑;如果不能,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-5);(2)DE=6;(3)能夠相切,理由見解析.
【解析】
(1)利用配方法即可將函數(shù)解析式變形為:y=(x-2)2-5,由頂點(diǎn)式即可求得這條拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)由經(jīng)過點(diǎn)(0,4)且與x軸平行的直線與拋物線y=x2-4x-1相交于M、N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè)),即可求得M與N的坐標(biāo),即可求得P的坐標(biāo),然后即可求得PE與PD的長(zhǎng),根據(jù)切線的性質(zhì),由勾股定理即可求得DE的長(zhǎng);
(3)根據(jù)已知,可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,又由以MN為直徑的⊙P與x軸相切,可得拋物線過點(diǎn)(2+r,r)或(2+r,-r),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求得r的值,則可證得以MN為直徑的⊙P能與x軸相切.
(1)∵y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=(x-2)2-5,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-5);
(2)∵當(dāng)y=4時(shí),x2-4x-1=4,
解得x=-1或x=5,
∴M坐標(biāo)為(-1,4),點(diǎn)N坐標(biāo)為(5,4),
∴MN=6.P的半徑為3,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4),
連接PE,則PE⊥DE,
∵PD=9,PE=3,
根據(jù)勾股定理得DE=6;
(3)能夠相切.
理由:設(shè)⊙P的半徑為r,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,拋物線過點(diǎn)(2+r,r)或(2+r,-r),
代入拋物線解析式得:(2+r)2-4(2+r)-1=r,
解得r=或r=(舍去),
把(2+r,-r)代入拋物線得:(2+r)2-4(2+r)-1=-r,
解得:r=,或r=(舍去).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①是一個(gè)直角三角形紙片,∠A=30°,將其折疊,使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C處,折痕為BD,如圖②,再將②沿DE折疊,使點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處,如圖③,若折痕DE的長(zhǎng)是cm,則BC的長(zhǎng)是( )
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
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【題目】在平行四邊形ABCD中,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn),EF經(jīng)過點(diǎn)O分別交AD、BC于E、F兩點(diǎn),
(1)如圖1,求證:AE=CF;
(2)如圖2,若EF⊥BD,∠AEB=60°,請(qǐng)你直接寫出與DE(DE除外)相等的所有線段.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),若x1x2+y1y2=0,且A,B均不為原點(diǎn),則稱A和B互為正交點(diǎn).比如:A(1,1),B(2,﹣2),其中1×2+1×(﹣2)=0,那么A和B互為正交點(diǎn).
(1)點(diǎn)P和Q互為正交點(diǎn),P的坐標(biāo)為(﹣2,3),
①如果Q的坐標(biāo)為(6,m),那么m的值為多少;
②如果Q的坐標(biāo)為(x,y),求y與x之間的關(guān)系式;
(2)點(diǎn)M和N互為正交點(diǎn),直接寫出∠MON的度數(shù);
(3)點(diǎn)C,D是以(0,2)為圓心,半徑為2的圓上的正交點(diǎn),以線段CD為邊,構(gòu)造正方形CDEF,圓心F在正方形CDEF的外部,求線段OE長(zhǎng)度的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程.
求證:該方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是,,若是關(guān)于x的函數(shù),且,其中,求這個(gè)函數(shù)的解析式;
設(shè),若該一元二次方程只有整數(shù)根,且k是小于0的整數(shù)結(jié)合函數(shù)的圖象回答:當(dāng)自變量x滿足什么條件時(shí),?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動(dòng),凡購物者可以通過轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的方式享受折扣優(yōu)惠,本次活動(dòng)共有兩種方式,方式一:轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲,指針指向A區(qū)域時(shí),所購買物品享受9折優(yōu)惠、指針指向其它區(qū)域無優(yōu)惠;方式二:同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙,若兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針指向每個(gè)區(qū)域的字母相同,所購買物品享受8折優(yōu)惠,其它情況無優(yōu)惠.在每個(gè)轉(zhuǎn)盤中,指針指向每個(gè)區(qū)城的可能性相同(若指針指向分界線,則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤)
(1)若顧客選擇方式一,則享受9折優(yōu)惠的概率為多少;
(2)若顧客選擇方式二,請(qǐng)用樹狀圖或列表法列出所有可能,并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將△ACD沿AD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處,連接C'D交AB于點(diǎn)E,連接BC',當(dāng)△BC'D是直角三角形時(shí),DE的長(zhǎng)為_________.
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【題目】在Rt△ABC中,∠BAC=30°,斜邊AB=2,動(dòng)點(diǎn)P在AB邊上,動(dòng)點(diǎn)Q在AC邊上,且∠CPQ=90°,則線段CQ長(zhǎng)的最小值=__________ .
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【題目】定義:在三角形中,把一邊的中點(diǎn)到這條邊的高線的距離叫做這條邊的中垂距.
例:如圖①,在△ABC中,D為邊BC的中點(diǎn),AE⊥BC于E,則線段DE的長(zhǎng)叫做邊BC的中垂距.
(1)設(shè)三角形一邊的中垂距為d(d≥0).若d=0,則這樣的三角形一定是________,推斷的數(shù)學(xué)依據(jù)是________.
(2)如圖②,在△ABC中,∠B=45°,AB=,BC=8,AD為邊BC的中線,求邊BC的中垂距.
(3)如圖③,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4.點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),連結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)AC.求△ACF中邊AF的中垂距.
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