Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）．

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）該拋物線與直線相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N．

①連結(jié)PC、PD，如圖1，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由；

②連結(jié)PB，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥PM，垂足為點(diǎn)Q，如圖2，是否存在點(diǎn)P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，（2，）或（，）.

【解析】

試題（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）①可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出M、N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線解析式可求得C、D的坐標(biāo)，過(guò)C、D作PN的垂線，可用t表示出△PCD的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；

②當(dāng)△CNQ與△PBM相似時(shí)有或兩種情況，利用P點(diǎn)坐標(biāo)，可分別表示出線段的長(zhǎng)，可得到關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），

∴，解得

∴該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為；

（2）①∵點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，

∴可設(shè)P（t，）（1＜t＜5），

∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N，

∴M（t，0），N（t，），

∴PN=.

聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得，解得或，

∴C（0，3），D（7，），

分別過(guò)C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，

則CE=t，DF=7﹣t，

∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN·CE+PNDF=PN=，

∴當(dāng)t=時(shí)，△PCD的面積有最大值，最大值為；

②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴當(dāng)△CNQ與△PBM相似時(shí)，有或兩種情況，

∵CQ⊥PM，垂足為Q，

∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，），

∴CQ=t，NQ=﹣3=，

∴，

∵P（t，），M（t，0），B（5，0），

∴BM=5﹣t，PM=0﹣（）=，

當(dāng)時(shí)，則PM=BM，即，解得t=2或t=5（舍去），此時(shí)P（2，）；

當(dāng)時(shí)，則BM=PM，即5﹣t=（），解得t=或t=5（舍去），此時(shí)P（，）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P（2，）或（，）．