Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O是彈力墻MN上一點(diǎn)，魔法棒從OM的位置開始繞點(diǎn)O向ON的位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)轉(zhuǎn)到ON位置時(shí)，則從ON位置彈回，繼續(xù)向OM位置旋轉(zhuǎn)；當(dāng)轉(zhuǎn)到OM位置時(shí)，再從OM的位置彈回，繼續(xù)轉(zhuǎn)向ON位置，…，如此反復(fù)．按照這種方式將魔法棒進(jìn)行如下步驟的旋轉(zhuǎn)：第1步，從OA0（OA0在OM上）開始旋轉(zhuǎn)α至OA1；第2步，從OA1開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2α至OA2；第3步，從OA2開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)3α至OA3 ， …．

例如：當(dāng)α=30°時(shí)，OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4的位置如圖2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；
當(dāng)α=20°時(shí)，OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4 ， OA3的位置如圖3所示，
其中第4步旋轉(zhuǎn)到ON后彈回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好與OA2重合．


（1）若α=35°，在圖4中借助量角器畫出OA2 ， OA3 ， 其中∠A3OA2的度數(shù)是 ；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射線平分∠A2OA3 ， 在如圖5中畫出OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4并求出α的值
（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，則對(duì)應(yīng)的α值是
（4）當(dāng)OAi所在的射線是∠AiOAk（i，j，k是正整數(shù)，且OAj與OAk不重合）的平分線時(shí)，旋轉(zhuǎn)停止，請(qǐng)?zhí)骄浚涸噯枌?duì)于任意角α（α的度數(shù)為正整數(shù)，且α=180°），旋轉(zhuǎn)是否可以停止？寫出你的探究思路．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：如圖所示

∵α＜30°，

∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．

∵OA4平分∠A2OA3，

∴2（180°﹣6α）+=4α，解得：．

（3）
（4）

解：對(duì)于角α=120°不能停止．理由如下：

無論a為多少度，旋轉(zhuǎn)過若干次后，一定會(huì)出現(xiàn)OAi是∠AiOAK是的角平分線，所以旋轉(zhuǎn)會(huì)停止．

但特殊的，當(dāng)a為120°時(shí)，第一次旋轉(zhuǎn)120°，∠MOA1=120°，第二次旋轉(zhuǎn)240°時(shí)，與OM重合，第三次旋轉(zhuǎn)360°，又與OM重合，第四次旋轉(zhuǎn)480°時(shí)，又與OA1重合，…依此類推，旋轉(zhuǎn)的終邊只會(huì)出現(xiàn)“與OM重合”或“與OA1重合”兩種情況，不會(huì)出第三條射線，所以不會(huì)出現(xiàn)OAi是∠AiOAK是的角平分線這種情況，旋轉(zhuǎn)不會(huì)停止．

【解析】（1）根據(jù)題意，明確每次旋轉(zhuǎn)的角度，計(jì)算即可；
（2）根據(jù)各角的度數(shù)，找出等量關(guān)系式，列出方程，求出α的度數(shù)即可；
（3）類比第（2）小題的算法，分三種情況討論，求出α的度數(shù)即可；
（4）無論a為多少度，旋轉(zhuǎn)很多次，總會(huì)出一次OAi是∠AiOAK是的角平分線，但當(dāng)a=120度時(shí)，只有兩條射線，不會(huì)出現(xiàn)OAi是∠AiOAK是的角平分線，所以旋轉(zhuǎn)會(huì)中止．