Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于、，交軸于點．

（1）拋物線頂點的坐標為________；

（2）如圖2，連接、．將沿軸方向以每秒1個單位長度的速度向右平移得到，運動時間為秒．當時，求與重疊面積與的函數(shù)解析式，并求出的最大值；

（3）如圖3中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，邊與拋物線的對稱軸交于點．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點，使得？若存在，直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）的坐標為；（2）當時，有最大值；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)點A和點B的坐標可得二次函數(shù)的解析式為，然后將其化為頂點式即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)t的取值范圍分類討論，然后利用的面積減去其余各三角形的面積即可分別求出與的函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；

（3）如圖，設(shè)為，點M為（1，m），過點A′作A′P⊥y軸于P,過點C′Q⊥y軸于Q，易證△A′PO∽△OQC′，列出比例式即可求出點C′的坐標，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等角對等邊可證為的中點，利用勾股定理求出點M的坐標即可求出點a和b，從而求出點A′的坐標．

（1）解：由已知拋物線與軸交于、，

∴二次函數(shù)的解析式為

∴，

∴頂點的坐標為．

（2）解：當x=0時，y=-3

所以點C的坐標為（0，-3）

①如圖，當時，

，

∴當時，有最大值；

②如圖，當時，，

∴當時，有最大值；

∵，當時，有最大值．

（3）解：如圖，設(shè)為，點M為（1，m），過點A′作A′P⊥y軸于P,過點C′Q⊥y軸于Q，易證△A′PO∽△OQC′

∴

可得．

旋轉(zhuǎn)過程中，若存在一點使得，則為的中點，

∵，

∴．

∴

解得：m=

∴或

∴或

解得：或

∴或．