【題目】在正方形ABCD中,點E為對角線AC(不含點A)上任意一點,AB=;

1)如圖1,將ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DCF,連接EF

①把圖形補充完整(無需寫畫法); ②求的取值范圍;

(2)如圖2,求BE+AE+DE的最小值.

【答案】(1)①補圖見解析;②;(2)

【解析】

1)①根據(jù)要求畫出圖形即可;

②首先證明∠ECF90°,設(shè)AECFxEF2y,則EC4x,在RtECF中,利用勾股定理即可解決問題;

2)如圖2中,將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG,連接EG,DF.作FHADH.根據(jù)兩點之間線段最短可得DFFGEGDE,BEFG,推出AEBEDE的最小值為線段DF的長;

1)①如圖△DCF即為所求;

②∵四邊形ABCD是正方形,

BCAB2,∠B90°,∠DAE=∠ADC45°,

ACAB4,

∵△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF

∴∠DCF=∠DAE45°,AECF,

∴∠ECF=∠ACD+∠DCF90°,

設(shè)AECFx,EF2y,則EC4x,

y=(4x2x22x28x1600x4).

y2x228,

20,

x2時,y有最小值,最小值為8,

當(dāng)x4時,y最大值=16,

8EF216

2)如圖中,將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG,連接EGDF.作FHADH

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,△AEG是等邊三角形,

AEEG

DFFGEGDE,BEFG,

AEBEDE的最小值為線段DF的長.

RtAFH中,∠FAH30°,AB=AF,

FHAF,AH

RtDFH中,DF

BEAEED的最小值為

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