Question

【題目】[問(wèn)題]小明在學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．

他經(jīng)歷了如下思考過(guò)程：

[回顧]

（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y1＝ax+b與雙曲線y2＝交于A （1，3）和B（﹣3，﹣1），則不等式ax+b＞的解集是　 　．

[探究]將不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

當(dāng)x＝0時(shí)，原不等式不成立；

當(dāng)x＞0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1＞；

當(dāng)x＜0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1＜．

（2）構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出圖象：

設(shè)y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；

雙曲線y4＝如圖2所示，請(qǐng)?jiān)诖俗鴺?biāo)系中畫(huà)出拋物線y＝x2+3x﹣1．（不用列表）

（3）確定兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)：

觀察所畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，猜想并通過(guò)代入函數(shù)解析式驗(yàn)證可知：滿足y3＝y4的所有x的值為　 　．

[解決]

（4）借助圖象，寫(xiě)出解集：

結(jié)合“探究”中的討論，觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集為　 　．

Answer 1

【答案】（1）x＞1或﹣3＜x＜0；（2）詳見(jiàn)解析；（3）﹣3或﹣1或1；（4）x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．

【解析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像位置關(guān)系直接觀察出不等式解集．

（2）找出該函數(shù)上的關(guān)鍵點(diǎn)，在圖表中描點(diǎn)連線即可．

（3）由圖像觀察即可得出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為原方程的解．

（4）根據(jù)（3）小問(wèn)的方法，將原式轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1＞，作圖找交點(diǎn)即可（注意討論x與0的大小關(guān)系）．

解：（1）如圖1中，觀察圖形可知：不等式ax+b＞的解集為x＞1或﹣3＜x＜0．

故答案為：x＞1或﹣3＜x＜0．

（2）函數(shù)y3＝x2+3x﹣1的圖形如圖所示：

（3）觀察圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣3，﹣1，1．

經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)可知：點(diǎn)（﹣3，﹣1），點(diǎn)（﹣1，﹣3），點(diǎn)（1，3）是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，

滿足y3＝y4的所有x的值為﹣3或﹣1或1．

故答案為﹣3或﹣1或1．

（4）觀察圖象，當(dāng)x＞0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1＞的解集為x＞1，

當(dāng)x＜0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為x2+3x﹣1＜的解集為x＜﹣3或﹣1＜x＜0，

∴不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集為x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．

故答案為x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．