Question

1．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2AB，AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周，即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值；
②若點(diǎn)P、Q的速度分別為v₁、v₂（cm/s），點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試探究a與b滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定，根據(jù)勾股定理即可求AF的長(zhǎng)；
（2）①分情況討論可知，P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；
②由①的結(jié)論用v₁、v₂表示出A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)所需的時(shí)間，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{∠AEF=∠CFE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形．
設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5；
（2）①解：根據(jù)題意得，P點(diǎn)AF上時(shí)，Q點(diǎn)CD上，此時(shí)A，C，P，Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；
同理P點(diǎn)AB上時(shí)，Q點(diǎn)DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．
∴只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，
∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=$\frac{4}{3}$秒；
②由①得，PC=QA時(shí)，以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為y秒，
則yv₁=12-yv₂，
解得，y=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$，
∴a=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$×v₁，b=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$×v₂，
∴$\frac{a}$=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．