Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和 ，與軸交于另一點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

（1）求拋物線的解析式，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖，點(diǎn)分別在線段上（點(diǎn)不與重合），且，則能否為等腰三角形？若能，求出的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)在拋物線上，且，試確定滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）可能，的長(zhǎng)為或；（3）當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)，當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)，當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)（此時(shí)點(diǎn)在的左側(cè)）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)化為解方程組即可解決問題．

（2）可能分三種情形①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別求解即可．

（3）如圖2中，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段的右側(cè)時(shí)，作于，連接．設(shè)，構(gòu)建二次函數(shù)求出的面積的最大值，再根據(jù)對(duì)稱性即可解決問題．

（1）由題意：

解得

拋物線的解析式為，

頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）可能．如圖1，

①當(dāng)時(shí)，

，此時(shí)與重合，與條件矛盾，不成立．

②當(dāng)時(shí)，

又，

，

③當(dāng)時(shí)，

，

，

答：當(dāng)的長(zhǎng)為或時(shí)，為等腰三角形．

（3）如圖2中，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段的右側(cè)時(shí)，作于，連接．設(shè)

則

時(shí)，的面積的最大值為，

當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，的最大值，

觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)，

當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)，

當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)（此時(shí)點(diǎn)在的左側(cè)）．