Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接BC

（1）點(diǎn)G是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過點(diǎn)G作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，作GF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)M、N是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝EF，連接DM、GN．當(dāng)△GEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，求DM+MN+NG的最小值；

（2）如圖2，連接BD，點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DQ，將△DPQ沿PQ翻折，且線段D′P的中點(diǎn)恰好落在線段BQ上，將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′OC′，點(diǎn)T為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)Q、A′、C′、T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）DM+MN+NG最小值為；（2）點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）

【解析】

（1）先求出點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)，可求直線BC解析式且得到∠OCB＝45°．由GE∥y軸和GF⊥BC可得△GEF是等腰直角三角形，則GE最大時(shí)其周長(zhǎng)最大．設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），則點(diǎn)E（a，﹣a+3），可列得GE與a的函數(shù)關(guān)系式，配方可求出其最大值，得到此時(shí)的G坐標(biāo)和EF的長(zhǎng)，即得到MN長(zhǎng)．求DM+MN+NG最小值轉(zhuǎn)化為求DM+NG最小值．先作D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D1，再通過平移MD1得D2，構(gòu)造“將軍飲馬”的基本圖形求解．

（2）由翻折得DD'⊥PQ，PD＝PD'，再由P為BD中點(diǎn)證得∠BD'D＝90°，得PQ∥BD'，又D'P中點(diǎn)H在BQ上，可證△PQH≌△D'BH，所以有D'Q∥BP即四邊形DQD'P為菱形，得DQ＝DP．設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（q，﹣q+3）即可列方程求得．再根據(jù)題意把點(diǎn)A'、C'求出．以點(diǎn)Q、A′、C′、T為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，要進(jìn)行分類討論，結(jié)合圖形，利用平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)，用平移坐標(biāo)的方法即可求得點(diǎn)T．

（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4

∴拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)D（1，4），

∴直線CB解析式：y＝﹣x+3，∠BCO＝45°

∵GE∥y軸，GF⊥BC

∴∠GEF＝∠BCO＝45°，∠GFE＝90°

∴△GEF是等腰直角三角形，，

∴C△GEF＝EF+FG+GE＝（+1）GE

設(shè)點(diǎn)G（a，﹣a2+2a+3），則點(diǎn)E（a，﹣a+3），其中0＜a＜3

∴GE＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a

∴a時(shí)，GE有最大值為，

∴△GEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，

∴ E點(diǎn)可看作點(diǎn)F向右平移個(gè)單位、向下平移個(gè)單位

如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D1（﹣1，2），過N作ND2∥D1M且ND2＝D1M

∴DM＝D1M＝ND2， ,即

∴DM+MN+NG＝MN+ND2+NG

∴當(dāng)D2、N、G在同一直線上時(shí)，ND2+NG＝D2G為最小值

∵

∴DM+MN+NG最小值為

（2）連接DD'、D'B，設(shè)D'P與BQ交點(diǎn)為H（如圖2）

∵△△DPQ沿PQ翻折得△D'PQ

∴DD'⊥PQ，PD＝PD'，DQ＝D'Q，∠DQP＝∠D'QP

∵P為BD中點(diǎn)

∴PB＝PD＝PD'，P（2，2）

∴△BDD'是直角三角形，∠BD'D＝90°

∴PQ∥BD'

∴∠PQH＝∠D'BH

∵H為D'P中點(diǎn)

∴PH＝D'H

在△PQH與△D'BH中

∴△PQH≌△D'BH（AAS）

∴PQ＝BD'

∴四邊形BPQD'是平行四邊形

∴D'Q∥BP

∴∠DPQ＝∠D'QP

∴∠DQP＝∠DPQ

∴DQ＝DP

∴DQ2＝DP2＝（2﹣1）2+（2﹣4）2＝5

設(shè)Q（q，﹣q+3）（0＜q＜3）

∴（q﹣1）2+（﹣q+3﹣4）2＝5

解得：（舍去）

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為

∵△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′OC′

∴

∴A'、C'橫坐標(biāo)差為，縱坐標(biāo)差為

A'、Q橫坐標(biāo)差為，縱坐標(biāo)差為

當(dāng)有平行四邊形A'C'TQ時(shí)（如圖3），點(diǎn)T橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為

當(dāng)有平行四邊形A'C'QT時(shí)（如圖4），點(diǎn)T橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為

當(dāng)有平行四邊形A'TC'Q時(shí)（如圖5），點(diǎn)T橫坐標(biāo)為 ，縱坐標(biāo)為

綜上所述，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）