Question

如圖．AB為⊙O的直徑，CP為⊙O的切線與BA的延長線交于點P．
（1）求證：∠ACP=∠B；
（2）試證明：PC²=PA•PB．

Answer 1

考點：切線的性質,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）連接OC，由切線的性質可知：OC⊥CP，所以∠OCP=90°，所以∠ACP+∠OCA=90°，再利用圓的半徑相等和圓周角定理即可證明：∠ACP=∠B；
（2）由（1）可知：∠ACP=∠B，再由條件∠P=∠P，所以可證明：△ACP∽△CBP，由相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可證明：PC²=PA•PB．

解答：證明：（1）連接OC，
∵CP為⊙O的切線，
∴OC⊥CP，
∴∠OCP=90°，
∴∠ACP+∠OCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC+∠ACP=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠OAC=90°，
∴∠ACP=∠B；
（2）∵∠ACP=∠B，∠P=∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴PC：PB=AP：PC，
∴PC²=PA•PB．

點評：本題考查了圓周角定理、切線的性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是連接OC利用切線的性質構造直角三角形，是中考常見題型．