Question

【題目】已知BC是⊙O的直徑，BF是弦，AD過(guò)圓心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，連接FC．

（1）如圖1，若OE＝2，求CF；

（2）如圖2，連接DE，并延長(zhǎng)交FC的延長(zhǎng)線于G，連接AG，請(qǐng)你判斷直線AG與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）直線AG與⊙O相切.

【解析】

(1)由AAS證明△AEO≌△BDO,得出OE=OD=2,證出OD//CF,得出OD為△BFC的中位線,得出CF=2OD=4即可;

(2)由ASA證明△ABD≌△GDF,得出AD=GF,證出AD//GF,得出四邊形ADFG為矩形,由矩形的性質(zhì)得出AG⊥OA,即可得出結(jié)論.

解：（1）∵BC是⊙O的直徑，AD過(guò)圓心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，

∴∠AEO＝∠BDO＝90°，OA＝OB，

在△AEO和△BDO中，

，

∴△AEO≌△BDO（AAS），

∴OE＝OD＝2，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠CFB＝90°，即CF⊥BF，

∴OD∥CF，

∵O為BC的中點(diǎn)，

∴OD為△BFC的中位線，

∴CF＝2OD＝4；

（2）直線AG與⊙O相切，理由如下：

連接AB，如圖所示：

∵OA＝OB，OE＝OD，

∴△OAB與△ODE為等腰三角形，

∵∠AOB＝∠DOE，

∴∠ADG＝∠OED＝∠BAD＝∠ABO，

∵∠GDF+∠ADG＝90°＝∠BAD+∠ABD，

∴∠GDF＝∠ABD，

∵OD為△BFC的中位線，

∴BD＝DF，

在△ABD和△GDF中，

，

∴△ABD≌△GDF（ASA），

∴AD＝GF，

∵AD⊥BF，GF⊥BF，

∴AD∥GF，

∴四邊形ADFG為矩形，

∴AG⊥OA，

∴直線AG與⊙O相切．