【題目】如圖1,矩形OABC擺放在平面直角坐標(biāo)系中,點A在x軸上,點C在y軸上,OA=3,OC=2,過點A的直線交矩形OABC的邊BC于點P,且點P不與點B、C重合,過點P作∠CPD=∠APB,PD交x軸于點D,交y軸于點E.
(1)若△APD為等腰直角三角形.
①求直線AP的函數(shù)解析式;
②在x軸上另有一點G的坐標(biāo)為(2,0),請在直線AP和y軸上分別找一點M、N,使△GMN的周長最小,并求出此時點N的坐標(biāo)和△GMN周長的最小值.
(2)如圖2,過點E作EF∥AP交x軸于點F,若以A、P、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形,求直線PE的解析式.
【答案】(1)①y=﹣x+3,②N(0, ),;(2) y=2x﹣2.
【解析】
(1)①由矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可求得∠BAP=∠BPA=45°,從而可得BP=AB=2,進(jìn)而得到點P的坐標(biāo),再根據(jù)A、P兩點的坐標(biāo)從而可求AP的函數(shù)解析式;
②作G點關(guān)于y軸對稱點G'(﹣2,0),作點G關(guān)于直線AP對稱點G'(3,1),連接G'G'交y軸于N,交直線AP 于M,此時△GMN周長的最小,根據(jù)點G'、G'兩點的坐標(biāo),求出其解析式,然后再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;
(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及已知條件求得PD=PA,進(jìn)而求得DM=AM,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PD=DE,然后通過得出△PDM≌△EDO得出點E和點P的坐標(biāo),即可求得.
解:(1)①∵矩形OABC,OA=3,OC=2,
∴A(3,0),C(0,2),B(3,2),
AO∥BC,AO=BC=3,∠B=90°,CO=AB=2,
∵△APD為等腰直角三角形,
∴∠PAD=45°,
∵AO∥BC,
∴∠BPA=∠PAD=45°,
∵∠B=90°,
∴∠BAP=∠BPA=45°,
∴BP=AB=2,
∴P(1,2),
設(shè)直線AP解析式y=kx+b,
∵過點A,點P,
∴
∴ ,
∴直線AP解析式y=﹣x+3;
②如圖所示:
作G點關(guān)于y軸對稱點G'(﹣2,0),作點G關(guān)于直線AP對稱點G'(3,1)
連接G'G'交y軸于N,交直線AP 于M,此時△GMN周長的最小,
∵G'(﹣2,0),G'(3,1)
∴直線G'G'解析式y=x+
當(dāng)x=0時,y=,
∴N(0,),
∵G'G'=,
∴△GMN周長的最小值為;
(2)如圖:作PM⊥AD于M,
∵BC∥OA
∴∠CPD=∠PDA且∠CPD=∠APB,
∴PD=PA,且PM⊥AD,
∴DM=AM,
∵四邊形PAEF是平行四邊形
∴PD=DE
又∵∠PMD=∠DOE,∠ODE=∠PDM
∴△PMD≌△EOD,
∴OD=DM,OE=PM,
∴OD=DM=MA,
∵PM=2,OA=3,
∴OE=2,OM=2
∴E(0,﹣2),P(2,2)
設(shè)直線PE的解析式y=mx+n
∴
∴直線PE解析式y=2x﹣2.
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【題目】已知一組數(shù),-,,-,…,(從左往右數(shù),第1個數(shù)是,第2個數(shù)是-,第3個數(shù)是,第4個數(shù)是-,依此類推,第n個數(shù)是).
(1)分別寫出第5個、第6個數(shù);
(2)記這組數(shù)的前n個數(shù)的和是sn,如:
s1=(可表示為1+);
s2=+(-)=(可表示為1-);
s 3=+(-)+=(可表示為1+);
s4=+(-)++(-)=(可表示為1-).
請計算S99的值.
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【題目】計算:
(1)3+(﹣)﹣(﹣)+2.
(2)(﹣5)×6+(﹣125)÷(﹣5).
(3)(+)×(﹣48).
(4)﹣12018×[(﹣2)5﹣32﹣÷(﹣)]﹣2.5.
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【題目】“世界那么大,我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò),騎自行車旅行越來越受到人們的喜愛.各種品牌的山地車相繼投放市場.順風(fēng)車行經(jīng)營的型車2018年6月份銷售總額為萬元,今年經(jīng)過改造升級后型車每輛銷售價比去年增加元,若今年6月份與去年6月份賣出的型車數(shù)量相同,則今年6月份型車銷售總額將比去年6月份銷售總額增加.
(1)今年6月份型車每輛售價多少元?(用列方程的方法解答)
(2)已知兩種型號車今年的進(jìn)貨及銷售價格如下表:
型車 | 型車 | |
進(jìn)貨價格(元/輛) | ||
銷售價格(元/輛) | 今年的銷售價格 |
該車行計劃7月份進(jìn)這批型車和型車共輛,且型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過型車數(shù)量的兩倍,應(yīng)如何進(jìn)貨才能是這批車獲利最多?
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【題目】對于三個數(shù)a,b,c,用M{a,b,c}表示這三個數(shù)的平均數(shù),用min{a,b,c}表示這三個數(shù)中最小的數(shù).例如:M{-1,2,3}=,min{-1,2,3}=-1,如果M{3,2x+1,4x-1}=min{2,-x+3,5x},那么x=____________.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線l⊥y軸于點C(C在y軸的正半軸上),與直線y=相交于點A,和雙曲線y=交于點B,且AB=6,則點B的坐標(biāo)是______.
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【題目】如圖,將一張矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊,點C的對應(yīng)點為C′,再將所折得的圖形沿EF折疊,使得點D和點A重合.若AB=3,BC=4,則折痕EF的長為__________.
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【題目】在我市中小學(xué)生“我的中國夢”讀書活動中,某校對部分學(xué)生做了一次主題為“我最喜愛的圖書”的調(diào)查活動,將圖書分為甲、乙、丙、丁四類,學(xué)生可根據(jù)自己的愛好任選其中一類。學(xué)校根據(jù)調(diào)查情況進(jìn)行了統(tǒng)計,并繪制了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖。
請你結(jié)合圖中信息,解答下列問題:
(1)本次共調(diào)查了___名學(xué)生;
(2)被調(diào)查的學(xué)生中,最喜愛丁類圖書的有___人,最喜愛甲類圖書的人數(shù)占本次被調(diào)查人數(shù)的___%;
(3)在最喜愛丙類學(xué)生的圖書的學(xué)生中,女生人數(shù)是男生人數(shù)的1.5倍,若這所學(xué)校共有學(xué)生1500人,請你估計該校最喜愛丙類圖書的女生和男生分別有多少人。
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【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,P為線段BC上一點,過點P作y軸平行線,交拋物線于點D,當(dāng)△BDC的面積最大時,求點P的坐標(biāo);
(3)如圖2,拋物線頂點為E,EF⊥x軸于F點,M(m,0)是x軸上一動點,N是線段EF上一點,若∠MNC=90°,請指出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.
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