【題目】如圖,⊙O的直徑AB=20,PAB上(不與點(diǎn)AB重合)的任一點(diǎn),點(diǎn)C,D為⊙O上的兩點(diǎn),若∠APD=BPC,則稱∠DPC為直徑AB回旋角,利用圓的對(duì)稱性可知:回旋角DPC的度數(shù)與弧CD的度數(shù)相等.

1)若∠DPC為直徑AB回旋角,且∠DPC=100°,求∠APD的大小;

2)若直徑AB回旋角90°,且PCD的周長(zhǎng)為,求AP的長(zhǎng).

【答案】140°;(2

【解析】

1)根據(jù)回旋角的定義可得∠APD=BPC,結(jié)合∠DPC=100°可求∠APD的大;

2)如圖三,延長(zhǎng)DP交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)CE、OC、OD,根據(jù)勾股定理求出,可得PC+PD=16,然后在RtDPC中,利用勾股定理構(gòu)造方程求出PD=2PC=14,或PD=14PC=2,然后分情況討論,利用DPA∽△BPE列出比例式,分別求出相應(yīng)的AP的長(zhǎng)即可.

解:(1)∵∠DPC為直徑AB回旋角,

∴∠APD=BPC,

又∵∠DPC=100°,

∴∠APD+BPC=180°-100°=80°

∴∠APD=40°;

2)如圖三,∠DPC=90°,延長(zhǎng)DP交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)CE、OC、OD

回旋角DPC的度數(shù)與弧CD的度數(shù)相等,

∴∠DOC=90°

,

PCD的周長(zhǎng)為,

PC+PD=16

設(shè)PD=x,則PC=16-x),

RtDPC中,PD2+PC2=CD2,即,

解得:x1=2,x2=14,

PD=2,PC=14,或PD=14PC=2,

∵∠DOC=90°,∠DPC=90°,

∴∠DEC=45°,

PE=PC,

①當(dāng)PD=2,PE=PC=14時(shí),連結(jié)AD,BE

∵∠DAB=DEB,∠DPA=BPE

∴△DPA∽△BPE

,即,

解得:(已舍去不合題意的值),

②當(dāng)PD=14,PE=PC=2時(shí),

同理可得:.

綜上,AP的長(zhǎng)為:.

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