Question

14．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的頂點在y軸上，頂點D、F在x軸上，點C在DE邊上，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象經過B，C和邊EF的中點M，若S_{四邊形ABCD}=8，則正方形DEFG的面積是（　　）

• A． $\frac{23}{9}$
• B． $\frac{128}{9}$
• C． 16
• D． $\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 根據正方形面積公式得到正方形的邊長，判斷△AOD和△ABH是等腰直角三角形，得出B點坐標，根據B點坐標得到反比例函數解析式，設DN=a，則EN=NF=a，根據正方形的性質易得E，F的坐標，求得M點的坐標，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征得出關于a的方程，解方程求出a的值，最后計算正方形DEFG的面積．

解答 解：作BH⊥y軸于B，連結EG交x軸于P，如圖，
∵正方形ABCD和正方形DEFG的頂點A在y軸上，頂點D、F在x軸上，點C在DE邊上，
∴∠EDF=45°，
∴∠ADO=45°，
∴∠DAO=∠BAH=45°，
∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，
∵S_{正方形ABCD}=8，
∴AB=AD=2$\sqrt{2}$，
∴OD=OA=AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2，
∴B點坐標為（2，4），
把B（2，4）代入y=$\frac{k}{x}$得k=2×4=8，
∴反比例函數解析式為y=$\frac{8}{x}$，
設DN=a，則EN=NF=a，
∴E（a+2，a），F（2a+2，0），
∵M點為EF的中點，
∴M點的坐標為（$\frac{3}{2}$a+2，$\frac{a}{2}$），
∵點M在反比例函數y=$\frac{8}{x}$的圖象上，
∴$\frac{3a+4}{2}$•$\frac{a}{2}$=8，
整理得3a²+4a-32=0，解得a₁=$\frac{8}{3}$，a₂=-4（舍去），
∴正方形DEFG的面積=4•$\frac{1}{2}$DN•DF=4•$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{3}$•$\frac{8}{3}$=$\frac{128}{9}$．
故選B．

點評 本題考查了反比例函數綜合題：熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征和正方形的性質；理解坐標與圖形性質，記住線段中點的坐標公式；會解一元二次方程．