【題目】如圖,直線交x軸于點A(8,0),直線經(jīng)過點A,交y軸于點B,點P是直線上的一個動點,過點P作x軸的垂線,過點B作y軸的垂線,兩條垂線交于點D,連接PB,設(shè)點P的橫坐標為m.
(1)若點P的橫坐標為m,則PD的長度為 (用含m的式子表示);
(2)如圖1,已知點Q是直線上的一個動點,點E是x軸上的一個動點,是否存在以A,B,E,Q為頂點的平行四邊形,若存在,求出E的坐標;若不存在,說明理由;
(3)如圖2,將△BPD繞點B旋轉(zhuǎn),得到△BD′P′,且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OCA,當點P的對應(yīng)點P′落在坐標軸上時,請直接寫出點P的坐標.
【答案】(1);(2)存在,點E坐標為(,0)或(,0);(3)P′坐標為(-,0)或(8,0).
【解析】
(1)直線解析式可得B點坐標,根據(jù)P橫坐標可求出點P的縱坐標,根據(jù)兩點間距離公式即可求出PD的長度;(2)分AB為邊且點E在點A右側(cè)、左側(cè)和AB為對角線三種情況討論,分別求出E點坐標即可;(3)①當m<0時,過D′作EF⊥BD,交x軸于E,BD與F,可得P(m,m-4),D(m,-4),可用m表示PD、BD的長,利用勾股定理可得出BP的長,根據(jù)A、B、C三點坐標可求出AC、OC、OB的長,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PBP′=∠OCA=∠DBD′,即可證明△OCA∽△FBD′,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得FB=OE的長,利用同角的余角相等的性質(zhì)可得∠ED′P′=∠FBD′=∠OCA,即可證明△D′EP′∽△COA,可得EP′的長,即可求出OP′的長,利用勾股定理列方程即可求出m的值,可求出OP′的長,即可得P′坐標;②當m>0時,同①可得△OCA∽△FBD′,△D′EP′∽△COA,即可求出OP′的長,可得P′坐標.綜上即可得答案.
(1)∵直線經(jīng)過點A,交y軸于點B,
∴B坐標為(0,-4),
∵點P是直線上的一個動點,點P的橫坐標為m,
∴點P的縱坐標為m-4,
∵PD⊥BD,
∴PD==,
故答案為:
(2)∵直線AB的解析式為:,
∴B(0,-4),
∵直線交x軸于點A(8,0),
∴×(-8)+n=0,
解得:n=6,
∴直線AC的解析式為y=x+6,
∴C(0,6),
①如圖,當AB為邊,且點E在A點右側(cè)時,
∵四邊形ABEP是平四邊形,
∴BE//AP,
∵直線AP的解析式為y=x+6,B(0,-4)
∴直線BE的解析式為:y=x-4,
令y=0,得:x-4=0,
解得:x=,
∴E(,0),
②當AB為邊,點E在點A左側(cè)時,
∵四邊形EAPB是平行四邊形,
∴PE//AB,PB//AE,
∵B(0,-4),
∴把y=-4代入y=x+6得:x=,
∴P點坐標為(,-4),
設(shè)直線PE的解析式為y=x+b,
把P點坐標代入得:×()+b=-4,
解得:b=,
∴直線PE的解析式為y=x,
令y=0得:x=0,
解得:x=,
∴點E坐標為(,0).
③當AB為對角線時,
∵四邊形APBE是平行四邊形,
∴BE//AP,
同①可得E點坐標為(,0),
綜上所述:存在以A,B,E,Q為頂點的平行四邊形,點E坐標為(,0)或(,0).
(3)①如圖,當m<0時,過D′作EF⊥BD,交x軸于E,BD與F,
∵A(-8,0),C(0,6),B(0,-4),
∴AC=10,OC=6,OB=4,
∵點P在直線y=x-4圖象上,BD//y軸,BD⊥PD,
∴P(m,m-4),D(m,-4),
∴DP=m-4-(-4)=m,BD=-m,
∴PB2=PD2+BD2=m2,
∵旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OCA=∠DBD′,∠D′FB=∠OCA,
∴△OCA∽△FBD′,
∴,
∵△BPD繞點B旋轉(zhuǎn),得到△BD′P′,
∴P′B=PB,BD′=BD=-m,D′P′=DP=m,∠P′D′B=∠PDB=90°,
∴,
解得:FB=m,
∴OE=FB=m,
∵∠FD′B+∠FBD′=90°,∠ED′P′+∠FD′B=90°,
∴∠ED′P′=∠FBD′=∠OCA,
又∵∠D′EP′=∠AOC=90°,
∴△D′EP′∽△COA,
∴,即,
解得:EP′=,
∴P′O=OE-EP=m-()=-m,
∴P′B2=P′O2+OB2,即m2=(-m)2+42,
解得:m=-或m=,
∵m<0,
∴m=-,
∴OP′=-m=,
∴P′坐標為(-,0),
②如圖,當m>0時,過D′作EF⊥BD,交x軸于E,BD于F,P(m,m-4),D(m,-4),
∴P′D′=PD=m,BD′=BD=m,P′B2=PB2=m2,
同①可得△OCA∽△FBD′,△D′EP′∽△COA,
∴BF=OE=m,EP′=m,
∴P′O=OE+EP′=m+m=m,
∴P′O2+OB2=P′B2,即m2+42=m2,
解得:m=±8,
∵m>0,
∴m=8,
∴OP′=m=8,
∴P′坐標為(8,0).
綜上所述:P′坐標為(-,0)或(8,0).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=(x+m)2+k的圖象,其頂點坐標為M(1,﹣4).
(1)求出圖象與x軸的交點A、B的坐標;
(2)在y軸上存在一點Q,使得△QMB周長最小,求出Q點坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于、兩點,與軸交于點,且.
(1)求拋物線的解析式和頂點的坐標;
(2)判斷的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點是軸上的一個動點,當的周長最小時,求的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某旅游景點的年游客量y(萬人)是門票價格x(元)的一次函數(shù),其函數(shù)圖像如下圖.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)經(jīng)過景點工作人員統(tǒng)計發(fā)現(xiàn):每賣出一張門票所需成本為20元.那么要想獲得年利潤11500萬元,且門票價格不得高于230元,該年的門票價格應(yīng)該定為多少元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“友誼商場”某種商品平均每天可銷售100件,每件盈利20元.“五一”期間,商場決定采取適當?shù)慕祪r措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每件該商品每降價1元,商場平均每天可多售出10件.設(shè)每件商品降價x元.據(jù)此規(guī)律,請回答:
(1)降價后每件商品盈利 元,商場日銷售量增加 件 (用含x的代數(shù)式表示);
(2)在上述條件不變的情況下,求每件商品降價多少元時,商場日盈利最大,最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AC=25,AB=35,tanA=,點D為邊AC上一點,且AD=5,點E、F分別為邊AB上的動點(點F在點E的左邊),且∠EDF=∠A.設(shè)AE=x,AF=y.
(1)如圖1,當DF⊥AB時,求AE的長;
(2)如圖2,當點E、F在邊AB上時,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)聯(lián)結(jié)CE,當△DEC和△ADF相似時,求x的值.
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【題目】如圖,在⊙O中,BC為直徑,A為弧BC的中點,點D在弧AC上,BD與AC相交于M,若CD=1,BC=,則DM的長是(。
A.B.C.D.
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