Question

【題目】如圖是二次函數(shù)y＝（x+m）2+k的圖象，其頂點坐標為M（1，﹣4）．

（1）求出圖象與x軸的交點A、B的坐標；

（2）在y軸上存在一點Q，使得△QMB周長最小，求出Q點坐標．

Answer 1

【答案】（1）A點和B點坐標為（﹣1，0），（3，0）；（2）滿足條件的Q點的坐標為（0，﹣）．

【解析】

（1） 已知頂點坐標代入解析式，再求得y=0時的x值即可確定點A、B的坐標.

（2）△QMB的周長=QM+QB+MB,而線段MB長度為確定值，所以只需確定QM+QB的和最小即可，做點B關于y軸的對稱點C，連接CM與y軸交點即為點Q，求得直線CM與y軸交點坐標即可.

解：（1）∵拋物線的頂點坐標為M（1，﹣4）．

∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）2﹣4，

當y＝0時，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，

∴A點和B點坐標為（﹣1，0），（3，0）；

（2）作B點關于y軸的對稱點C，如圖，則C（﹣4，0），

連接MC交y軸于Q，

∵QB＝GC，

∴QM+QB＝QM+QC＝MC，

∴此時QM+QB的值最小，△QMB周長最小，

設直線MC的解析式為y＝ax+b，

把M（1，﹣4），C（﹣3，0）代入得，解得，

∴直線MC的解析式為y＝，

當x＝0時，y＝0＝﹣，

∴滿足條件的Q點的坐標為（0，﹣3）．