Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，以AB為一邊向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心為O， ，則BC邊的長為_．

Answer 1

【答案】3

【解析】

作EQ⊥x軸，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，CB為x軸，CA為y軸，則A（0，5）．設(shè)B（x，0），由于O點(diǎn)為以AB一邊向三角形外作正方形ABEF的中心，利用AAS得到三角形ABC與三角形BEQ全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AC=BQ=5，BC=EQ，設(shè)BC=EQ=x，由OM為梯形ACQE的中位線，利用梯形中位線定理表示出OM，再由CM，表示出O坐標(biāo)，進(jìn)而表示出OC的長，根據(jù)已知OC的長列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出BC的長．

解：作EQ⊥x軸，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，CB為x軸，CA為y軸，則A（0，5）．

設(shè)B（x，0），由于O點(diǎn)為以AB一邊向三角形外作正方形ABEF的中心，

∴AB＝BE，∠ABE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，

∴∠BAC＝∠EBQ，

在△ABC和△BEQ中，

，

∴△ACB≌△BQE（AAS），

∴AC＝BQ＝5，BC＝EQ，

設(shè)BC＝EQ＝x，

∴O為AE中點(diǎn)，

∴OM為梯形ACQE的中位線，

∴OM＝，

又∵CM＝CQ＝，

∴O點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

根據(jù)題意得：OC＝4＝ ，

解得：x＝3，

則BC＝3．

故答案為：3．