Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰直角三角形，∠CAB＝90°，點A，點B的坐標分別為A（0，a），B（b，0），且a，b滿足a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，AC與x軸交于點D．

（1）求△AOB的面積；

（2）求證：點D為AC的中點；

（3）點E為x軸的負半軸上的動點，分別以OA，AE為直角邊在第一、二象限作等腰直角三角形△OAN和等腰直角三角形△EAM，連接MN交y軸于點P，試探究線段OE與AP的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）a2+b2﹣4a﹣8b+20＝（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，即可求解；

（2）由∠ABO＝∠DAO，用解直角三角形的方法即可求解；

（3）證明△AHM≌△EOA（AAS）和△MPH≌△NPA（AAS），即可求解．

解：（1）a2+b2﹣4a﹣8b+20＝（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，

則：a＝2，b＝4，

S△AOB＝OAOB＝4；

（2）∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠DAO＝90°，

∴∠ABO＝∠DAO，

OA＝2，OB＝4，則：AB＝，cos∠ABO＝＝,

AD＝＝＝AB＝AC，

即：點D為AC的中點；

（3）過點M作MH⊥y軸交于點H，

∵∠MAH+∠EAO＝90°，∠MAH+∠HMA＝90°，

∴∠HMA＝∠EAO，

又∠MHA＝∠AOE＝90°，AE＝AM，

∴△AHM≌△EOA（AAS），

∴AH＝OE，MH＝OA＝AN，

又∠MHA＝∠NAP＝90°，∠MPH＝∠APN，

∴△MPH≌△NPA（AAS），

∴AP＝PH＝AH＝OE．