Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣x+與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；拋物線y=ax2+bx+（a≠0）過A，B兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C（﹣1，0），拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在直線AB上方的拋物線上有一動點(diǎn)E，求出點(diǎn)E到直線AB的距離的最大值；

（4）如圖2，直線AB與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)P到直線BD，DF的距離相等，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，）；（2）y＝﹣x2+x+，D的坐標(biāo)為（1，3）；（3）當(dāng)x＝時，EF有最大值為；（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（﹣，0）或（0，）或（7，0）．

【解析】

（1）令x=0，則y，令y=0，則x=3，即可求解；

（2）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，即可求解；

（3）E到直線AB的距離=EF=EHsin∠FHE=EHcos∠BAC，即可求解；

（4）分當(dāng)點(diǎn)P在∠BDF平分線上、外角平分線上兩種情況，分別求解即可．

（1）令x=0，則y，令y=0，則x=3，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）、B的坐標(biāo)（0，）；

（2）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為：yx2x，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）；

（3）過點(diǎn)E作EH∥y軸交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EF⊥AB．設(shè)E（x，），則H（x，），∴EH==．

∵A的坐標(biāo)為（3，0）、B的坐標(biāo)（0，），∴OA=3，OB=，∴AB=，∴cos∠BAC=．

E到直線AB的距離=EF=EHsin∠FHE=EHcos∠BAC=（）x2x=，當(dāng)x時，EF有最大值為；

（4）①當(dāng)點(diǎn)P在∠BDF平分線上時，則角平分線與y軸的交點(diǎn)P1、x軸的交點(diǎn)P2為所求．

過點(diǎn)P1作⊥DM交于點(diǎn)M，作P1N⊥BD交于點(diǎn)N，則：P1M=P1N=1，將點(diǎn)B、D坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：函數(shù)表達(dá)式為：yx，則點(diǎn)H坐標(biāo)（﹣3，0），∴HB=．

∵sin∠P1BN=sin∠HOB，，∴，∴BP1∴OP1==1，∴故點(diǎn)P1（0，1），則直線DP1的表達(dá)式為：y=2x+1，令y=0，則x，即點(diǎn)P2（，0）；

②當(dāng)點(diǎn)P在當(dāng)點(diǎn)P在∠BDF的外交平分線上時，此時點(diǎn)P所在的直線與直線P1P2所在的直線垂直，設(shè)直線PD的解析式為y=，把D（1，3）代入得：b=，∴y=，令x=0，得y=，令y=0，得x=7，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（7，0）；

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）或（，0）或（0，）或（7，0）．