Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)．F是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CF=AE連接BE

（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖①，若E是線段AC的中點(diǎn)，連接EF，其他條件不變，猜想線段BE與EF的數(shù)量關(guān)系

（2）探究問題：如圖②，若E是線段AC上任意一點(diǎn)，連接EF，其他條件不變，猜想線段BE與EF的數(shù)量關(guān)系是什么？請(qǐng)證明你的猜想

（3）解決問題：如圖③，若E是線段AC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，且∠EBC=30°，AB=3請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng)度

Answer 1

【答案】（1）BE=EF；（2）BE=EF，證明見解析；（3）

【解析】

（1）由菱形的性質(zhì)和已知條件得出△ABC是等邊三角形，得出∠BCA=60°，由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件得出CE=CF，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出∠CBE=∠F，即可得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)E作EG∥BC交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證明△ABC是等邊三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再證明△AGE是等邊三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°，然后證明△BGE≌△ECF，即可得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得∠E=30°，然后根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求AE，CM，AC的長(zhǎng)，繼而利用勾股定理求解，

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BCA=60°，

∵E是線段AC的中點(diǎn)，

∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，

∵CF=AE，

∴CE=CF，

∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，

∴∠CBE=∠F=30°，

∴BE=EF；

故答案為：BE=EF；

（2）結(jié)論成立；理由如下：

過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，如圖2所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠ECF=120°，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等邊三角形，

∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，

∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

在△BGE和△CEF中，，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．

（3）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M

由（1）可知，△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°

又∵∠EBC=30°，

∴∠ABE=90°，∠E=30°

在Rt△ABE中，AE=2AB=6

∴CF=6

又在等邊△ABC中，AM⊥BC

∴CM=，

∴在Rt△AMF中，．