【題目】若二次函數(shù)y=ax2+bx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,且過點(diǎn)C (3,﹣2).
(1)求二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn),且S△PBA=5,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使∠ABO=∠ABM?若存在,求出點(diǎn)M到y軸的距離;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,點(diǎn)M到y軸的距離為
【解析】
(1)由待定系數(shù)法可求解析式;
(2)設(shè)直線BP與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PD⊥OA于D,設(shè)點(diǎn)P(a,a2-a-2),則PD=a2-a-2,利用參數(shù)求出BP解析式,可求點(diǎn)E坐標(biāo),由三角形面積公式可求a,即可得點(diǎn)P坐標(biāo);
(3)如圖2,延長(zhǎng)BM到N,使BN=BO,連接ON交AB于H,過點(diǎn)H作HF⊥AO于F,由全等三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)N坐標(biāo),求出BN解析式,可求點(diǎn)M坐標(biāo),即可求解.
(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象過點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)C (3,-2),
∴,
解得:
∴二次函數(shù)表達(dá)式為:;
(2)設(shè)直線BP與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PD⊥OA于D,
設(shè)點(diǎn)P(a,a2-a-2),則PD=a2-a-2,
∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)B,
∴點(diǎn)B(0,-2),
設(shè)BP解析式為:,
∴a2-a-2=ka﹣2,
∴,
∴BP解析式為:y=()x﹣2,
∴y=0時(shí),,
∴點(diǎn)E(,0),
∵S△PBA=5,
∵S△PBA=,
∴,
∴a=-1(不合題意舍去),a=5,
∴點(diǎn)P(5,3);
(3)如圖2,延長(zhǎng)BM到N,使BN=BO,連接ON交AB于H,過點(diǎn)H作HF⊥AO于F,
∵BN=BO,∠ABO=∠ABM,AB=AB,
∴△ABO≌△ABN(SAS)
∴AO=AN,且BN=BO,
∴AB垂直平分ON,
∴OH=HN,AB⊥ON,
∵AO=4,BO=2,
∴AB=,
∵S△AOB=×OA×OB=×AB×OH,
∴OH=,
∴AH=,
∵cos∠BAO=,
∴,
∴AF=,
∴HF=,
OF=AO﹣AF= 4﹣=,
∴點(diǎn)H(,-),
∵OH=HN,
∴點(diǎn)N(,﹣)
設(shè)直線BN解析式為:y=mx﹣2,
∴﹣=m﹣2,
∴m=﹣,
∴直線BN解析式為:y=﹣x﹣2,
∴x2﹣x﹣2=﹣x﹣2,
∴x=0(不合題意舍去),x=,
∴點(diǎn)M坐標(biāo)(,﹣),
∴點(diǎn)M到y軸的距離為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于二次函數(shù)y=x2+2x+3的圖象有以下說法:其中正確的個(gè)數(shù)是( 。
①它開口向下;②它的對(duì)稱軸是過點(diǎn)(﹣1,3)且平行于y軸的直線;③它與x軸沒有公共點(diǎn);④它與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與y軸交于C(0,8),且與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象在第一象限內(nèi)交于A(3,a),B(1,b)兩點(diǎn).
⑴求△AOC的面積;
⑵若=4,求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,BC∥AD,BC=AD,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F為AE的中點(diǎn),AC⊥CD,連接BE、CE、CF.
(1)判斷四邊形ABCE的形狀,并說明理由;
(2)如果AB=4,∠D=30°,點(diǎn)P為BE上的動(dòng)點(diǎn),求△PAF的周長(zhǎng)的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AD=6,點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)C,D重合),AE的垂直平分線FG分別交AD,AE,BC于點(diǎn)F,H,G.當(dāng)=時(shí),DE的長(zhǎng)為( )
A. 2 B. C. D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某賓館有若干間標(biāo)準(zhǔn)房,當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格為元時(shí),每天入住的國間數(shù)為間,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明,該賓館每間標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格在元之間(含元,元)浮動(dòng)時(shí),每天人住的房間數(shù)(間)與每間標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格(元)的數(shù)據(jù)如下表:
(元) | …… | 190 | 200 | 210 | 220 | …… |
(元) | …… | 65 | 60 | 55 | 50 | …… |
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn),并畫出圖象.
(2)猜想(1)中的圖象是什么函數(shù)的圖象,求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并寫出自變量的取值范圍.
(3)設(shè)客房的日營業(yè)額為W (元).若不考慮其他因素,問賓館標(biāo)準(zhǔn)房的價(jià)格定為多少元時(shí),客房的日營業(yè)額最大?最大為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A,D不重合),連接EO并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)F,連接BE,DF.下列說法:
① 對(duì)于任意的點(diǎn)E,四邊形BEDF都是平行四邊形;
② 當(dāng)∠ABC>90°時(shí),至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得四邊形BEDF是矩形;
③ 當(dāng)AB<AD時(shí),至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得是四邊形BEDF是菱形;
④ 當(dāng)∠ADB=45°時(shí),至少存在一個(gè)點(diǎn)E,使得是四邊形BEDF是正方形.
所有正確說法的序號(hào)是:_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=100°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一個(gè)點(diǎn)M、N,使△AMN的周長(zhǎng)最小,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為( 。
A.130°B.120°C.160°D.100°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn).F是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CF=AE連接BE
(1)發(fā)現(xiàn)問題:如圖①,若E是線段AC的中點(diǎn),連接EF,其他條件不變,猜想線段BE與EF的數(shù)量關(guān)系
(2)探究問題:如圖②,若E是線段AC上任意一點(diǎn),連接EF,其他條件不變,猜想線段BE與EF的數(shù)量關(guān)系是什么?請(qǐng)證明你的猜想
(3)解決問題:如圖③,若E是線段AC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn),其他條件不變,且∠EBC=30°,AB=3請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng)度
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