【題目】在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,且∠EAF=CEF=45°.

(1)ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ABG(如圖①),求證:AEG≌△AEF;

(2)若直線EFABAD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)M,N(如圖②),求證:EF2=ME2+NF2;

(3)將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形,若其余條件不變(如圖③),請(qǐng)你直接寫出線段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)EF2=2BE2+2DF2.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可證△AEG≌△AEF

2)將ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ABG,連結(jié)GM.由(1)知AEG≌△AEF,則EG=EF.再由BME、DNFCEF均為等腰直角三角形,得出CE=CFBE=BM,NF=DF,然后證明GME=90°MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF2=ME2+NF2;

3)將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADF≌△ABG,則DF=BG,再證明△AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代換得到EF=BE+DF

試題解析:(1∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,

∴AF=AG∠FAG=90°,

∵∠EAF=45°

∴∠GAE=45°,

△AGE△AFE中,

,

∴△AGE≌△AFESAS);

2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a

△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,連結(jié)GM

△ADF≌△ABGDF=BG

由(1)知△AEG≌△AEF

∴EG=EF

∵∠CEF=45°

∴△BME、△DNF△CEF均為等腰直角三角形,

CE=CF,BE=BM,NF=DF,

∴a﹣BE=a﹣DF

∴BE=DF,

∴BE=BM=DF=BG,

∴∠BMG=45°,

∴∠GME=45°+45°=90°,

∴EG2=ME2+MG2,

EG=EF,MG=BM=DF=NF,

∴EF2=ME2+NF2;

3EF2=2BE2+2DF2

如圖所示,延長(zhǎng)EFAB延長(zhǎng)線于M點(diǎn),交AD延長(zhǎng)線于N點(diǎn),

△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AGH,連結(jié)HM,HE

由(1)知△AEH≌△AEF

則由勾股定理有(GH+BE2+BG2=EH2,

即(GH+BE2+BM﹣GM2=EH2

∴EF=HEDF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE2+BE﹣GH2=EF2,

2DF2+BE2=EF2

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知△ABC是等邊三角形,DBC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與BC重合)△ADF是以AD為邊的等邊三角形,過(guò)點(diǎn)FBC的平行線交射線AC于點(diǎn)E,連接BF

1)如圖1,求證:△AFB≌△ADC;

2)請(qǐng)判斷圖1中四邊形BCEF的形狀,并說(shuō)明理由;

3)若D點(diǎn)在BC 邊的延長(zhǎng)線上,如圖2,其它條件不變,請(qǐng)問(wèn)(2)中結(jié)論還成立嗎?如果成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.
(1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù).
(3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC= ,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長(zhǎng).

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【題目】計(jì)算。
(1)計(jì)算: +(﹣3)2﹣( ﹣1)0
(2)化簡(jiǎn):(2+m)(2﹣m)+m(m﹣1).

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【題目】體育委員統(tǒng)計(jì)了全班學(xué)生“1分鐘跳繩的次數(shù),繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖:

根據(jù)這兩幅統(tǒng)計(jì)圖的信息完成下列問(wèn)題

(1)這個(gè)班共有學(xué)生多少人?并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

(2)如果將“1分鐘跳繩的次數(shù)大于或等于180個(gè)定為優(yōu)秀,請(qǐng)你求出這個(gè)班“1分鐘跳繩的次數(shù)達(dá)到優(yōu)秀的百分率.

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A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)

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(1)填空:這次調(diào)查的學(xué)生共   人,表示戶外活動(dòng)時(shí)間為1小時(shí)的扇形圓心角度數(shù)是   度;

(2)求參加戶外活動(dòng)的時(shí)間為1.5小時(shí)的學(xué)生人數(shù),并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

(3)若該校七年級(jí)有學(xué)生600人,請(qǐng)估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生參加戶外活動(dòng)的時(shí)間不少于1小時(shí)的有多少人?

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