【題目】在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG(如圖①),求證:△AEG≌△AEF;
(2)若直線EF與AB,AD的延長線分別交于點M,N(如圖②),求證:EF2=ME2+NF2;
(3)將正方形改為長與寬不相等的矩形,若其余條件不變(如圖③),請你直接寫出線段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)EF2=2BE2+2DF2.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可證△AEG≌△AEF;
(2)將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,連結(jié)GM.由(1)知△AEG≌△AEF,則EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后證明∠GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF2=ME2+NF2;
(3)將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADF≌△ABG,則DF=BG,再證明△AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代換得到EF=BE+DF.
試題解析:(1)∵△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,
∴AF=AG,∠FAG=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠GAE=45°,
在△AGE與△AFE中,
,
∴△AGE≌△AFE(SAS);
(2)設(shè)正方形ABCD的邊長為a.
將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG,連結(jié)GM.
則△ADF≌△ABG,DF=BG.
由(1)知△AEG≌△AEF,
∴EG=EF.
∵∠CEF=45°,
∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形,
∴CE=CF,BE=BM,NF=DF,
∴a﹣BE=a﹣DF,
∴BE=DF,
∴BE=BM=DF=BG,
∴∠BMG=45°,
∴∠GME=45°+45°=90°,
∴EG2=ME2+MG2,
∵EG=EF,MG=BM=DF=NF,
∴EF2=ME2+NF2;
(3)EF2=2BE2+2DF2.
如圖所示,延長EF交AB延長線于M點,交AD延長線于N點,
將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AGH,連結(jié)HM,HE.
由(1)知△AEH≌△AEF,
則由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,
即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2
又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,
即2(DF2+BE2)=EF2
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【題目】已知△ABC是等邊三角形,D是BC邊上的一個動點(點D不與B,C重合)△ADF是以AD為邊的等邊三角形,過點F作BC的平行線交射線AC于點E,連接BF.
(1)如圖1,求證:△AFB≌△ADC;
(2)請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀,并說明理由;
(3)若D點在BC 邊的延長線上,如圖2,其它條件不變,請問(2)中結(jié)論還成立嗎?如果成立,請說明理由.
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【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.
(1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù).
(3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC= ,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.
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【題目】體育委員統(tǒng)計了全班學(xué)生“1分鐘跳繩”的次數(shù),繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖:
根據(jù)這兩幅統(tǒng)計圖的信息完成下列問題
(1)這個班共有學(xué)生多少人?并補全頻數(shù)分布直方圖;
(2)如果將“1分鐘跳繩”的次數(shù)大于或等于180個定為優(yōu)秀,請你求出這個班“1分鐘跳繩”的次數(shù)達(dá)到優(yōu)秀的百分率.
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【題目】如圖□ABCD的對角線AC,BD交于點O,AE平分∠BAD交BC于點E,且∠ADC=600,AB=BC,連接OE .下列 結(jié)論:①∠CAD=300 ② S□ABCD=ABAC ③ OB=AB ④ OE=BC 成立的個數(shù)有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
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【題目】為增強學(xué)生的身體素質(zhì),某校規(guī)定學(xué)生每天參加戶外活動的平均時間不少于1小時,為了解學(xué)生參加戶外活動的情況,對該校七年級部分學(xué)生參加戶外活動的時間進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)填空:這次調(diào)查的學(xué)生共 人,表示戶外活動時間為1小時的扇形圓心角度數(shù)是 度;
(2)求參加戶外活動的時間為1.5小時的學(xué)生人數(shù),并補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若該校七年級有學(xué)生600人,請估計該校七年級學(xué)生參加戶外活動的時間不少于1小時的有多少人?
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【題目】從汽車燈的點O處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出,如入射光線OA的反射光線為AB,∠OAB=75°.在如圖中所示的截面內(nèi),若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出,且∠ODE=22°.則∠AOD的度數(shù)是_____.
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【題目】小明家O,學(xué)校A和公園C的平面示意圖如圖所示,圖上距離OA=2cm,OC=2.5cm.
(1)學(xué)校A、公園C分別在小明家O的什么方向上?
(2)若學(xué)校A到小明家O的實際距離是400m,求公園C到小明家O的實際距離.
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