【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.
(1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù).
(3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC= ,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.
【答案】
(1)解:如圖1中,∵∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=80°,
∴△ABC不是等腰三角形,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°,
∴∠ACD=∠A=40°,
∴△ACD為等腰三角形,
∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,
∴△BCD∽△BAC,
∴CD是△ABC的完美分割線
(2)解:①當(dāng)AD=CD時(shí),如圖2,∠ACD=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②當(dāng)AD=AC時(shí),如圖3中,∠ACD=∠ADC= =66°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③當(dāng)AC=CD時(shí),如圖4中,∠ADC=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍棄.
∴∠ACB=96°或114°.
(3)解:由已知AC=AD=2,
∵△BCD∽△BAC,
∴ ,設(shè)BD=x,
∴( )2=x(x+2),
∵x>0,
∴x= ﹣1,
∵△BCD∽△BAC,
∴ = = ,
∴CD= ×2= ﹣
【解析】(1)根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA即可.(2)分三種情形討論即可①如圖2,當(dāng)AD=CD時(shí),②如圖3中,當(dāng)AD=AC時(shí),③如圖4中,當(dāng)AC=CD時(shí),分別求出∠ACB即可.(3)設(shè)BD=x,利用△BCD∽△BAC,得 ,列出方程即可解決問題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地居民生活用電基本價(jià)格為每度電0.4元,若每月用電量不超過度時(shí),按基本價(jià)格收費(fèi);若超過度,超出部分按基本價(jià)格的150%收費(fèi).
(1)某戶8月份用電84度,共交電費(fèi)38.4元,求的值。
(2)如果該戶9月份的電費(fèi)平均為每度0.5元,那么該用戶9月份用電多少度?應(yīng)交電費(fèi)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用同樣大小的小正方形紙片,按下圖的方式拼正方形:
規(guī)律:第①個(gè)圖形中有1個(gè)小正方形;
第②個(gè)圖形比第①個(gè)圖形多3個(gè)小正方形;
第③個(gè)圖形比第②個(gè)圖形多5個(gè)小正方形;……
第(n+1)個(gè)圖形比第n個(gè)圖形多________個(gè)小正方形;
可發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論:(1)1+3+5+……+(2n-1)= ____________;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解決農(nóng)民工子女入學(xué)難的問題,我市建立了一套進(jìn)城農(nóng)民工子女就學(xué)的保障機(jī)制,其中一項(xiàng)就是免交“借讀費(fèi)”.據(jù)統(tǒng)計(jì),2004年秋季有名農(nóng)民工子女進(jìn)入主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí),預(yù)計(jì)2005年秋季進(jìn)入主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)的農(nóng)民工子女比2004年有所增加,其中小學(xué)增加,中學(xué)增加,這樣,2005年秋季將新增名農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí).
(1)如果按小學(xué)每生每年收“借讀費(fèi)”元,中學(xué)每生每年收“借讀費(fèi)”元計(jì)算,求2005年新增加的名中小學(xué)學(xué)生共免收多少“借讀費(fèi)”?
(2)如果小學(xué)每增加名學(xué)生需配備名教師,中學(xué)每增加名學(xué)生需配備名教師,若按2005年秋季入學(xué)后,農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學(xué)就讀的學(xué)生增加的人數(shù)計(jì)算,一共需要配備多少名中小學(xué)教師?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)P在△ABC的邊AC上,下列條件中,不能判斷△ABP∽△ACB的是( )
A.∠ABP=∠C
B.∠APB=∠ABC
C.AB2=AP?AC
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將矩形AOCD沿直線AE折疊(點(diǎn)E在邊DC上),折疊后頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處,若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(10,8),求點(diǎn)E的坐標(biāo)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABG(如圖①),求證:△AEG≌△AEF;
(2)若直線EF與AB,AD的延長線分別交于點(diǎn)M,N(如圖②),求證:EF2=ME2+NF2;
(3)將正方形改為長與寬不相等的矩形,若其余條件不變(如圖③),請你直接寫出線段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(9,0),以AB為直徑作⊙O′,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,連接AC、BC,過A、B、C三點(diǎn)作拋物線.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn),∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D,求點(diǎn)D的坐標(biāo);并直接寫出直線BC、直線BD的解析式;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PDB=∠CBD,若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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