Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在線段AB上取一點D，過D作DE⊥AB交AC于E，過E作EF⊥DE交BC于F，過F作FG⊥EF交AB于G，得到矩形DEFG．
（1）設(shè)AD=x，用x表示DE、BG．
（2）設(shè)矩形DEFG的面積為y，當(dāng)x取何值時，y最大，并求出最大值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）直接運(yùn)用直角三角形的邊之間的關(guān)系即可解決問題．
（2）用含有x的代數(shù)式表示出線段DG的長度，借助矩形的面積公式問題即可解決．

解答：解：（1）由題意得：
tan∠A=

BC

AC

=

DE

AD

=

4

3

，AD=x，
∴DE=

4

3

x．
∵四邊形DEFG為矩形，
∴GF=DE=

4

3

x；
又∵tan∠B=

GF

BG

=

AC

BC

=

3

4

，
∴BG=

16

9

x．
即DE、BG的長分別為

4

3

x，

16

9

x．
（2）由勾股定理得：
AB²=3²+4²=25，
∴AB=5，DG=5-x-

16

9

x=5-

25

9

x
∴S矩形DEFG=DE•DG=

4

3

x•(5-

25

9

x)
=-

100

27

x2+

20

3

x，
∴當(dāng)x=

9

10

，y取得最大值，y的最大值為3．

點評：該題以矩形為載體，以考查相似三角形的判定及其應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．