Question

如圖，梯形ABCD，AB與CD平行，∠BCD=2∠D=2α，∠CEF=∠B，
（1）用α表示∠CEF=

 

；
（2）當(dāng)AB=BC時(shí)，猜想EC、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠B+∠BCD=180°，而∠BCD=2α，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；證明A、E、C、F四點(diǎn)共圓，進(jìn)而證明∠ECF=∠EFC，問題即可解決．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD=180°，而∠BCD=2α，
∴∠CEF=∠B=180°-2α．
（2）猜想：EC=EF．證明如下：
如圖，連接AC，CF；
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD；而AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=β，
∴∠BCA=∠ACD=β，
即∠BCD=2∠ACD，而∠BCD=2∠D，
∴∠ACD=∠D=β；
由三角形的內(nèi)角和定理得：∠B=∠CAD=180°-2β，
而∠CEF=∠B，
∴∠CEF=∠CAF，
∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠EFC=∠BAC=β，∠ECF+∠A=180°；
∵AB∥CD，
∴∠D+∠A=180°，
∴∠ECF=∠D=β，
∴∠ECF=∠EFC，
∴EC=EF．

點(diǎn)評(píng)：該題以梯形為載體，以平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、四點(diǎn)共圓的判定及其應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)為考查的核心構(gòu)造而成；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．