Question

【題目】如圖，點(diǎn)D，E分別在正△ABC的邊AB，BC上，且BD＝CE，CD，AE交于點(diǎn)F．

（1）①求證：△ACE≌△CBD；②求∠AFD的度數(shù)；

（2）如圖2，若D，E，M，N分別是△ABC各邊上的三等分點(diǎn)，BM，CD交于Q．若△ABC的面積為S，請(qǐng)用S表示四邊形ANQF的面積　 　；

（3）如圖3，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)P，使∠BPD＝30°，設(shè)AF＝a，CF＝b，請(qǐng)用含a，b的式子表示PC長(zhǎng)，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②∠AFD＝60°（2）S；（3）PC＝a+2b，見解析

【解析】

（1）①由等邊三角形的性質(zhì)AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，且BD＝CE，可證△BDC≌△CEA；

②由三角形的外角性質(zhì)可求∠AFD的度數(shù)；

（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得BD＝CE＝AM＝DN，且AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，可證△ABM≌△CAE≌△BCD和△BDQ≌△CEF，由全等三角形的性質(zhì)和三等分點(diǎn)性質(zhì)，可求四邊形ANQF的面積；

（3）在AC上截取AM＝CE，由題意可證△BHC≌△CFA，可得BH＝CF＝b，AF＝CH＝a，∠PHB＝60°，即可求PC的長(zhǎng)．

證明：（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，且BD＝CE，

∴△BDC≌△CEA（SAS）；

②∵△BDC≌△CEA，

∴∠CAE＝∠BCD，

∵∠AFD＝∠CAE+∠ACF＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，

∴∠AFD＝60°；

（2）∵D，E，M，N分別是△ABC各邊上的三等分點(diǎn)，

∴BD＝CE＝AM＝DN，且AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，

∴△ABM≌△CAE≌△BCD（SAS），

∴∠CAE＝∠ABM＝∠BCD，∠AMB＝∠AEC＝∠BDC，且BD＝CE，

∴△BDQ≌△CEF（ASA），

∴S△BDQ＝S△CEF，

∵BD＝DN，

∴S△BDQ＝S△DNQ＝S△CEF，

∵D，E是AB，BC上三等分點(diǎn)，

∴S△BDC＝S△CEA＝S△ABC＝S，

∵四邊形ANQF的面積＝S△ABC﹣S△AEC﹣S△DNQ﹣S四邊形DFEB＝S﹣S﹣S，

∴四邊形ANQF的面積＝S，

故答案為:S；

（3）PC＝a+2b，

理由如下：如圖，在AC上截取AM＝CE，即AM＝CE＝BD，

∵AM＝CE＝BD，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝CB，

∴△CBD≌△ACE≌△BAM（SAS），

∴∠CAE＝∠BCD＝∠ABM，且∠ABC＝∠ACE，

∴∠MBC＝∠ACD，且BC＝AC，∠EAC＝∠BCD，

∴△BHC≌△CFA（ASA），

∴BH＝CF＝b，AF＝CH＝a，

∵∠PHB＝∠MBH+∠HCB＝∠ABM+∠MBC＝∠ABC，

∴∠PHB＝60°，且∠BPD＝30°，

∴∠PBH＝90°，且∠BPH＝30°，

∴PH＝2BH＝2b，

∴PC＝PH+HC＝a+2b.